Schrijf eerst als macht: `f(x) = x^(text(-)1)` .

`f'(x) = text(-)1*x^(text(-)2) = text(-)1/(x^2)`

Schrijf eerst als macht: `f(x) = x^(1/3)` .

`f'(x) = 1/3 x^(text(-)2/3) = 1/(3x^(2/3)) = 1/(3 root[3](x^2))`

Schrijf eerst als macht: `f(x) = 3x^(text(-)2)` .

`f'(x) = text(-)6x^(text(-)3) = text(-)6/(x^3)`

Schrijf eerst als één macht: `f(x) = x^1*x^(1/2) = x^(1 1/2)` .

`f'(x) = 1 1/2 x^(1/2) = 1 1/2 sqrt(x)`

Schrijf eerst als één macht: `f(x) = x^1/(2*x^(1/2)) = 1/2x^(1 - 1/2) = 1/2 x^(1/2)` .

`f'(x) = 1/4 x^(text(-)1/2) = 1/(4x^(1/2)) = 1/(4sqrt(x))`

Schrijf eerst als macht: `f(x) = (4*x^3)^(1/2) = 2*x^(1 1/2)` .

`f'(x) = 3x^(1/2) = 3 sqrt(x)`

`f(x) = 2x^2 sqrt(x) = 2x^(2 1/2)`
`f’(x) = 2 1/2 * 2 x^(2 1/2 - 1) = 5x^(1 1/2) = 5x sqrt(x)`

`f(x) = 6x root[3](x) = 6x^(1 1/3)`

`f’(x) = 1 1/3 * 6 x^(1 1/3 - 1) = 8x^(1/3) = 8 root[3](x)`

`f(x) = 1 1/2 x^2 root[3](x^2) = 1 1/2 x^(2 2/3)`

`f’(x) = 2 2/3 * 1 1/2 x^(2 2/3 - 1) = 4x^(1 2/3) = 4x root[3](x^2)`

`f(x) = 3a x^3 root[3](x) = 3a x^(3 1/3)`

`f'(x) = 3 1/3 * 3a x^(3 1/3 - 1) = 10a x^(2 1/3) = 10a x^2 root[3](x)`

`f(x) = 6 - 1/2 x^(text(-)3)`

`f'(x) = 1 1/2 x^(text(-)4) = 3/(2x^4)`

`TK'(q) = 6q^2 + 120q - 100`

`J'(d) = 1/2 π d^2`

`f(x) = x^(text(-)1)(x^2 - 20x)(x^2 + 30x) = x^3 + 10x^2 - 600x`

`f'(x) = 3x^2 + 20x - 600`

`g(x) = 2x^(text(-)1) + 2x`

`g'(x) = text(-)2x^(text(-)2) + 2 = text(-)2/(x^2) + 2`

`g'(2) = 1 1/2` en `g(2) = 5` geeft als raaklijnvergelijking `y = 1 1/2x + 2` .

Plot de grafiek van `g` . De lijn `y = p` heeft precies één punt met de grafiek van `g` gemeen als de lijn door de toppen gaat.

Eerst de toppen berekenen: `g'(x) = text(-)2/(x^2) + 2 = 0` geeft `x = 1 vv x = text(-)1` .

De extremen zijn min. `g(1) = 4` en max. `g(text(-)1) = text(-)4` .

Dus `p = 4 vv p = text(-)4` .

`f(x) = 1/4 x^2*x^(2/3) - x^2 = 1/4 x^(2 2/3) - x^2 `

`f'(x) = 8/3*1/4 x^(2 2/3 - 1) - 2x = 2/3 x^(1 2/3) - 2x = 2/3 x root[3](x^2) - 2x`

Om de extremen te vinden moet je oplossen: `f'(x) = 2/3 x root[3](x^2) - 2x = 0` .

Dat geeft `2x(1/3 root[3](x^2)-1) = 0` en `x = text(-)3sqrt(3) vv x = 0 vv x = 3sqrt(3)` (benaderingen zijn ook goed).

De extremen zijn: min. `f(text(-)3sqrt(3)) = text(-)6 3/4` , max. `f(0) = 0` en min. `f(3sqrt(3)) = text(-)6 3/4` .

`y = p` is een horizontale lijn.

In de grafiek kun je zien dat de horizontale lijn, die door het maximum `(0, 0)` gaat, `y = 0` , drie punten met `f` gemeen heeft. `f(x) = 0` heeft dan drie oplossingen.

De horizontale lijn die door de minima `(text(-)3sqrt(3), text(-)6 3/4)` en `(3sqrt(3), text(-)6 3/4)` gaat, `y = text(-)6 3/4` , heeft twee punten met `f` gemeen, `f(x) = text(-)6 3/4` heeft twee oplossingen. De horizontale lijnen die tussen de eerstgenoemde lijn en de tweede lijn liggen, hebben vier snijpunten met de grafiek van `f` , dus voor `text(-)6 3/4 lt p lt 0` .

`f"(x) = 5/3*2/3 x^(1 2/3 - 1) - 2 = 10/9 x^(2/3) - 2 = 1 1/9 root[3](x^2)-2`

Om de buigpunten te vinden moet je oplossen: `f"(x) = 1 1/9 root[3](x^2) - 2 = 0` .
Dit levert op: `x = text(-)1 2/25 sqrt(5) vv x = 1 2/25 sqrt(5)` en de buigpunten `(text(-)1 2/25 sqrt(5), text(-)3 519/2500) vv (1 2/25 sqrt(5), text(-)3 519/2500)` .

`f'(x) = text(-)2 1/2` geeft `10/(x^2) = 2 1/2` en dus `x^2 = 10/(2 1/2) = 4` zodat `x = +-2` .

Ga na, dat je dezelfde vergelijkingen als in het voorbeeld.

Door naar de grafiek te kijken. Bijvoorbeeld gaat de lijn `y = text(-)2 1/2 x` door de oorsprong en die voldoet dus.

`f(x) = 2 x^(1/2)`

`f′(x) = 1/2*2x^(text(-)1/2) = 1/(x^(1/2)) = 1/(sqrt(x))`

`f(x) = text(-)2/3 x^(text(-)3)`

`f'(x) = text(-)3*text(-)2/3 x^(text(-)4) = 2/(x^4)`

`f(x) = x^(1/3)`

`f′(x) = 1/3 x^(text(-)2/3) = 1/(3x^(2/3)) = 1/(3 root[3](x^2))`

`f(x) = (x^(2/3))/(2x^1) = 1/2 x^(2/3 - 1) = 1/2 x^(text(-)1/3)`

`f′(x) = text(-)1/3 * 1/2 x^(text(-)1 1/3) = text(-)1/6 x^(text(-)1 1/3) = (text(-)1)/(6x^(1 1/3)) = (text(-)1)/(6x root[3](x))`

`f(x) = x^(text(-)1) - x^(1 1/2)`
`f'(x) = text(-)x^(text(-)2) - 3/2 x^(1/2) = text(-)1/(x^2) -1 1/2 sqrt(x)`

Het domein van `f` is `⟨0, →⟩` . Voor elke `x gt 0` is `x^2 gt 0` , `1/(x^2) gt 0` , `sqrt(x) gt 0` en dus `text(-)1/(x^2) - 1 1/2sqrt(x) lt 0` . De functie is daarmee over het hele domein dalend.

`f'(x) = text(-)x^(text(-)2) - 3/2 x^(1/2)`
`f''(x) = 2x^(text(-)3) - 3/4 x^(text(-)1/2) = 2/(x^3) - 3/(4sqrt(x))`

`f''(1) = 2 - 3/4 = 1 1/4 gt 0` . De grafiek van `f` is bij `x = 1` dus toenemend stijgend of afnemend dalend.

Omdat de grafiek daar ook dalend is, kun je concluderen dat de grafiek van `f` bij `x = 1` afnemend aan het dalen is.

`f''(x) = 2/(x^3) - 3/(4sqrt(x)) = 0` geeft `8sqrt(x) = 3x^3` , voor `x gt 0` volgt hier uit `x = root5(64/9)≈1,48` .

`g(x) = 2(x-3)^(text(-)1)`

De basisfunctie waar `g` uit ontstaan is na transformatie is `y = x^(text(-)1)` met als afgeleide `(text(d)y)/(text(d)x) = text(-)x^(text(-)2) = text(-)1/(x^2)` .

Daarom is `g'(x) = 2*text(-)1/((x-3)^2) = (text(-)2)/((x-3)^2)` .

`g(x) = (3x+1)^(1/2)`

De basisfunctie waar `g` uit ontstaan is na transformatie is `y = x^(1/2)` met als afgeleide `(text(d)y)/(text(d)x) = 1/2x^(text(-)1/2) = 1/(2x^(1/2)) = 1/(2sqrt(x))` .

Daarom is `g'(x) = 3*1/(2sqrt(3x+1)) = 3/(2sqrt(3x+1))` .

`g(x) = ((text(-)2x)^3)^(1/5) = (text(-)2x)^(3/5)`

De basisfunctie waar `g` uit ontstaan is na transformatie is `y = x^(3/5)` met als afgeleide `(text(d)y)/(text(d)x) = 3/5x^(text(-)2/5) = 3/(5x^(2/5)) = 3/(5root[5](x^2))` .

Daarom is `g'(x) = text(-)2*3/(5root[5]((text(-)2x)^2)) = (text(-)6)/(5root[5]((text(-)2x)^2))` .

`g(x) = (x + 1 - 3)/(x+1) = (x+1)/(x+1) - 3/(x+1) = 1 - 3(x+1)^(text(-)1)`

De basisfunctie waar `g` uit ontstaan is na transformatie is `y = x^(text(-)1)` met als afgeleide `(text(d)y)/(text(d)x) = text(-)x^(text(-)2) = (text(-)1)/(x^2)` .

Daarom is `g'(x) = text(-)3*(text(-)1)/((x+1)^2) = 3/((x+1)^2)` .

`f(x) = (x^2 + 1)/x = (x^2)/x + 1/x = x + x^(text(-)1)`

`f'(x) = 1 - x^(text(-)2) = 1 - 1/(x^2)`

`f'(x) = 0` geeft `x = text(-)1 vv x = 1` .

GR: max. `f(text(-)1) = text(-)2` en min. `f(1) = 2` .

Zie de grafiek van `f` .

`y = p` zijn horizontale lijnen. De lijnen die door de toppen gaan, hebben één raakpunt met de grafiek van `f` . De lijnen tussen deze raaklijnen hebben geen snijpunten met de grafiek van `f` , er geldt dan `text(-)2 lt p lt 2` .

De lijnen `y = ax` zijn lijnen door de oorsprong, behalve de verticale lijn `y = 0x` .

De grafiek van `f` lijkt twee asymptoten te hebben.

Voor de rechter limiet van ` 0` geldt `lim_(x↓0) (x + 1/x) = ∞` en voor de linker limiet `lim_(x↑0) (x + 1/x) = text(-)∞` . De grafiek van `f` heeft dus een verticale asymptoot voor `x = 0` .

Bij de limiet voor `x→∞` en voor `x→text(-) ∞` krijg je

`y = lim_(x→∞) (x + 1/x) = x + lim_(x→∞) (1/x) = x + 0 = x` en op dezelfde manier

`y = lim_(x→text(-)∞) (x + 1/x) = x + lim_(x→text(-)∞) (1/x) = x - 0 = x` .

De grafiek van `f` heeft daarom een scheve asymptoot voor `y = x` .

De richtingscoëfficiënt van deze laatste asymptoot is `1` . Uit de grafiek kun je dan aflezen dat `f` en de lijnen `y = ax` geen punten gemeen hebben voor ` a≤1`

De lijnen `y = text(-)3x+b` zijn alle lijnen met een richtingscoëfficiënt van `text(-)3` . Twee van die lijnen raken aan de grafiek van `f` .

Dat doen ze in de punten waarvoor geldt `f'(x) = text(-)3` .
En `1 - 1/(x^2) = text(-)3` geeft `x = text(-)1/2 vv x = 1/2` .

De raakpunten zijn daarmee `(text(-)1/2, text(-)2 1/2)` en `(1/2, 2 1/2)` en de raaklijnen `y = text(-)3x - 4` en `y = text(-)3x + 4` .

Voor `b lt text(-)4` en `b gt 4` hebben de lijnen `y = text(-)3x + b` twee snijpunten met de grafiek van `f` .

`f(x) = 60x^(text(-)1)` geeft `f'(x) = text(-)60x^(text(-)2) = text(-)60/x^2` .

Er geldt `f(p) = 60/p` en `f'(p) = text(-)60/(p^2)` .

Voor de raaklijn in `p` geldt daarom `y = text(-)60/(p^2)*x + b` .

Na het invullen van de coördinaten van `P` krijg je `60/p = text(-)60/(p^2)*p + b` en

`b = 120/p` , dus een vergelijking van de raaklijn `ST` is: `y = text(-)60/(p^2)*x + 120/p` .

Voor `T` op de lijn `ST` geldt `x = 0` en daaruit volgt `y = 120/p` (dus `T(0, 120/p)` .

Voor `S` op de lijn `ST` geldt `y = 0` en daaruit volgt `x = 2p` (dus `S(2p, 0)` ).

De oppervlakte van driehoek `OST` is `1/2*2p*120/p = 120` , dus onafhankelijk van `p` en daardoor onafhankelijk van de plaats van `P` op de grafiek van `f` .

De breedte is `40` cm. De plaat wordt gevouwen over de breedte, daar gaat dus twee keer een hoogte af.

`x=40 -2 h` of `h=20 - 0,5 x` met `x` en `h` in cm.

`H(x) = 200*x*(20 - 0,5x) = 4000x - 100x^2`

`H'(x) = 4000 - 200x = 0` geeft `x = 20` .

Als   `x = 20` is de hoeveelheid water die door de goot kan maximaal.

`y' = 10,5 x^2 sqrt(x)`

`y’ = 5 1/3 root[3](x)`

`y’ = 11/16 x root[4](x^3)`

`y’ = 17a x^3 root[4](x)`

`g'(x) = text(-)1/(x^2) + 4`

`g'(1/4) = text(-)12` en `g(1/4) = 5` geeft als raaklijnvergelijking `y = text(-)12x + 8` .

`p = 4 vv p = text(-)4`