Je ziet hier hoe het vlakdeel ingesloten door de grafiek van
`f(x) = sqrt(x)`
en de
`x`
-as op het interval
`[0, 4]`
om de
`x`
-as wordt gewenteld.
Het
"omwentelingslichaam"
dat zo ontstaat kun je benaderen door smalle cilinders door het interval
`[0, 4]`
in deelintervallen met een breedte van
`∆x`
te verdelen.
De inhoud van zo'n cilinder is
`π y^2∆x`
. De inhoud van het omwentelingslichaam benader je door Riemannsommen van de vorm:
`ul(S_n) = sum_(k=1)^n π * (f_(text(min))(x))^2 * Δx`
en
`bar(S_n) = sum_(k=1)^n π*(f_(text(max))(x))^2 * Δx`
Als het aantal deelintervallen oneindig groot wordt, dan gaat
`∆x`
naar
`0`
.
De inhoud van het omwentelingslichaam wordt dan:
`I = int_0^4 π*(f(x))^2 text(d)x = int_0^4 π*(sqrt(x))^2 text(d)x = int_0^4 πx text(d)x
= [1/2 πx^2]_0^4 = 8 π`
In
Gegeven de functie
`f(x) = 4 - x^2`
.
`V`
is het vlakdeel ingesloten door de grafiek van
`f`
en de
`x`
-as.
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door `V` om de `x` -as te wentelen.