Exponentiële en logaritmische functies > Exponentiële functiesVoorbeeld 2
Radioactieve stoffen zijn stoffen die straling uitzenden. Bij dergelijke stoffen
zijn de atoomkernen instabiel, bijvoorbeeld doordat er te veel protonen en/of neutronen
in zitten. Een natuurlijke radioactieve stof is de radiumisotoop
`\ _88^226text(Ra)`
. Bij deze stof zendt elke atoomkern een α-deeltje (een heliumkern) uit, waardoor
hij overgaat in een atoom van het element radon:
`\ _86^222text(Rn)`
. De halfwaardetijd van dit radium is ongeveer
`1600`
jaar. In die tijd wordt de helft van de radiumatomen omgezet in radon. Het percentage
radium neemt voortdurend af (vanaf
`100`
%).
Beschrijf het verval van radium op drie manieren met een formule.
Neem `t = 0` op 1-1-1900 en `t` in jaren en noem het percentage radium `N` . Het verval van dit radium kun je dan beschrijven met een formule van de vorm:
-
`N(t) = N(0)*g^t` met `N(0) = 100` en `g^1600 = 0,5` .
Dit wordt: `N(t) ≈ 100 *0,9996^t` . -
`N(t) = N(0)*text(e)^(kt)` met `N(0) = 100` en `text(e)^(1600 k) = 0,5` .
Dit wordt: `N(t) ≈ 100 * text(e)^(text(-)0,00043 t)` . -
`N(t) = N(0)*10^(kt)` met `N(0) = 100` en `10^(1600 k) = 0,5` .
Dit wordt: `N(t) ≈ 100 *10^(text(-)0,00019 t)` .
Bekijk
Reken de drie gevonden vervalformules zelf na.
Bereken met elk van de drie gevonden vervalformules de vervalsnelheid op `t = 0` .
Bereken ook de vervalsnelheid op `t = 90` . Wat gebeurt er met de vervalsnelheid als `t` toeneemt?
In welk jaar is er nog `20` % van de beginhoeveelheid radium over als er verder niemand aan komt?
Differentieer de volgende functies en stel de vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 1` .
`f(x) = 4 * 3^(2x - 4) - 12`
`f(x) = (text(e)^(2x) - 1)/(text(e)^x)`
`f(x) = text(e)^(1/x)`
`f(x) = (text(e)^(text(-)x^2))/(x^3)`