Bekijk de grafiek van functie `f(x) = 1/2 x^2 + 2` en het punt `P(2, 1)` .
Met de applet kun je nagaan dat er twee raaklijnen aan de grafiek `f` door `P` gaan. Maar hoe stel je de vergelijkingen van deze raaklijnen op?
Een raaklijn `k` heeft de vorm `k: y = ax+b` en heeft raakpunt `M(p, f(p))` . Dan geldt:
richtingscoëfficiënt `a = f'(p)`
lijn `k` gaat door `P(2, 1)` , dus `a = (Delta y)/(Delta x) = (f(p)-1)/(p-2)`
Dus `f'(p) = (f(p)-1)/(p-2)` .
Omdat `f'(x) = x` wordt dit: `p = (1/2 p^2 + 2 - 1)/(p - 2)` , zodat `p^2 - 2p = 1/2p^2 + 1` en `1/2p^2-2p-1 = 0` .
Eén van beide raaklijnen heeft een positieve helling. Met de abc-formule vind je:
`p = (4+sqrt(24))/2 = 2+sqrt(6)`
.
Omdat
`a = f'(p) = p`
is dit ook de richtingscoëfficiënt die raaklijn.
De vergelijking wordt daarom
`y = (2+sqrt(6))x+b`
.
Invullen van `P(2, 1)` geeft: `b = text(-)3 - 2sqrt(6)` .
De vergelijking van deze raaklijn wordt: `y = (2+sqrt(6))x - 3 - 2sqrt(6)` .
Bekijk
Stel de vergelijking van de andere raaklijn op.
Gegeven is het punt
`Q(1, 4)`
. Zijn er raaklijnen aan
`f`
door dit punt?
Licht je antwoord toe.
Gegeven is de parabool
`f(x) = text(-)(x-4)^2 + 7`
en het punt
`P(0, 0)`
.
Door punt
`P`
gaan twee raaklijnen
`k`
en
`l`
aan de grafiek van
`f`
.
Stel de vergelijkingen op van deze raaklijnen.