Voor de nulpunten moet je oplossen $f(x)=cos(2x)-2cos(x)=0$.
Hierbij maak je gebruik van $cos(2x)=2{cos}^2(x)-1$.
De vergelijking wordt dan: $2{cos}^2(x)-1-2cos(x)=0$.
Schrijf je dit als $2{cos}^2(x)-2cos(x)-1=0$, dan krijg je een kwadratische vergelijking in $cos(x)$. Die kun je oplossen met de abc-formule:
$cos(x)=\frac{2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 2\cdot -1}}{2\cdot 2}=\frac{2\pm \sqrt{12}}{4}=\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{3}$.
Nu zijn benaderingen nodig, bijvoorbeeld in twee decimalen nauwkeurig:
$cos(x)\approx \mathrm{1,366}\vee cos(x)\approx \mathrm{-0,366}$.
Alleen $cos(x)\approx \mathrm{0,366}$ heeft oplossingen, namelijk
$x\approx arccos(\mathrm{-0,366})+k\cdot 2\pi \vee x\approx \mathrm{-}arccos(\mathrm{-0,366})+k\cdot 2\pi$.
Er zijn dus twee series nulpunten: $(\mathrm{1,95}+k\cdot 2\pi ,0)$ en $(\mathrm{-1,95}+k\cdot 2\pi ,0)$.

De vergelijking $f(x)=cos(2x)-2cos(x)=-1$ geeft op dezelfde manier:
$2{cos}^2(x)-1-2cos(x)=-1$ en dus $2{cos}^2(x)-2cos(x)=0$.
Ontbinden is nu mogelijk: $2cos(x)(cos(x)-1)=0$.
Je vindt daarom: $cos(x)=0\vee cos(x)=1$.
En daarvan kun je gemakkelijk alle antwoorden opschrijven...