Goniometrische functies

Goniometrische functies > Goniometrische formules

Overzicht

123456Goniometrische formules

Uitleg

Bekijk de applet.

Om eigenschappen van sinus, cosinus en tangens af te leiden moet je kijken naar hun definities in de eenheidscirkel:

$sin (α) = y_{P}$
$cos (α) = x_{P}$
$tan (α) = \frac{y_{P}}{x_{P}}$

In deze figuur zie je de hoeken $α$ en $β = π - α$ .

Omdat $∆ O Q P$ en $∆ O Q^{'} P^{'}$ congruent zijn vanwege de symmetrie van de figuur geldt:

$sin (π - α) = sin (α)$
$cos (π - α) = - cos (α)$
$tan (π - α) = - tan (α)$

Kijk je alleen naar $∆ O Q P$ dan zie je op grond van de stelling van Pythagoras:
`sin^2(alpha) + cos^2(alpha) = 1` .
Hierin Op deze wijze kun je allerlei symmetrieformules voor sin, cos en tan afleiden.
Bijvoorbeeld: $sin (- α) = - sin (α)$ , $cos (- α) = cos (α)$ en $tan (- α) = - tan (α)$ .
Of: $sin (\frac{1}{2} π - α) = cos (α)$ en $cos (\frac{1}{2} π - α) = sin (α)$ .
Of: $cos (α) = sin (α + \frac{1}{2} π)$ en $sin (α) = cos (α - \frac{1}{2} π)$ .

Opgave 1

Bekijk de symmetrieformules die in de Uitleg 1 worden afgeleid.

Laat zelf zien, dat: `sin(text(-)alpha) = text(-)sin(alpha)` en `cos(text(-)alpha) = cos(alpha)` en `tan(text(-)alpha) = text(-)tan(alpha)` .

Laat zien, dat: `sin(1/2 pi – alpha) = cos(alpha)` en `cos(1/2 pi – alpha) = sin(alpha)` .

Laat ook zien dat: `cos(alpha) = sin(alpha + 1/2 pi)` en `sin(alpha) = cos(alpha – 1/2 pi)` .

Opgave 2

Breng de grafiek van $y = {sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x)$ op je grafische rekenmachine in beeld.

Welke formule heb je nu zichtbaar gemaakt? En hoe wordt die formule in de Uitleg 1 afgeleid?

Maakt het daarbij verschil of je in graden of radialen werkt?

verder | terug