Goniometrische functies

Goniometrische functies > Goniometrische formules

123456Goniometrische formules

Uitleg

Bekijk de applet.

Met behulp van de figuur hiernaast kun je de zogenaamde somformules afleiden. Je ziet hoe hier de hoeken $α$ en $β$ "op elkaar gestapeld" zijn. Het is de bedoeling om $sin (α + β)$ uit te drukken in $sin (α)$ , $sin (β)$ , $cos (α)$ en $cos (β)$ met behulp van rechthoek $O Q C D$ en de rechthoekige $∆ O P R$ . Dit gaat alleen zolang $α + β$ tussen $0$ en $0,5 π$ blijft. Alle andere situaties moet je met behulp van de symmetrieformules en de eenheidscirkel tot deze herleiden!

Ga na, dat $sin (α + β) = \frac{Q C}{O R}$ .
Ga ook na, dat $sin (α) = \frac{Q P}{O P}$ , $cos (α) = \frac{P C}{P R}$ , $sin (β) = \frac{P R}{O R}$ en $cos (β) = \frac{O P}{O R}$ .
Dan is:
$sin (α) \cdot cos (β) + cos (α) \cdot sin (β) = \frac{Q P}{O P} \cdot \frac{O P}{O R} + \frac{P C}{P R} \cdot \frac{P R}{O R} = \frac{Q P}{O R} + \frac{P C}{O R} = \frac{Q C}{O R} = sin (α + β)$ .

Hiermee heb je afgeleid: $sin (α + β) = sin (α) \cdot cos (β) + cos (α) \cdot sin (β)$ .
Met behulp van de symmetrieformules kun je hier dan weer varianten op maken.
En daarbij maak je de verdubbelingsformules en de formules van Simpson...

Opgave 3

In de Uitleg 2 wordt de formule `sin(alpha + beta) = sin(alpha)cos(beta) + cos(alpha)sin(beta)` afgeleid. Hieruit kun je formules afleiden voor `sin(alpha - beta)` , `cos(alpha + beta)` en `cos(alpha - beta)` . Je ziet al die formules in de Theorie .

Leid eerst de formule voor `sin(alpha - beta)` af. Gebruik de symmetrieformules.

Leid nu de formule voor `cos(alpha + beta)` af. Gebruik daarbij formules die `sin` omzetten in `cos` en omgekeerd.

Uit de formule bij b kun je een formule voor `cos(alpha - beta)` afleiden. Laat zien hoe.

Leid een formule af voor `tan(alpha + beta)` . Zorg er voor dat er alleen de `tan` in voorkomt.

Opgave 4

In de Uitleg 2 worden ook de formules van Simpson genoemd. Eén van die formules is `sin(p) + sin(q) = 2 sin(1/2(p+q)) cos(1/2(p-q))` . Deze formule kun je afleiden uit de formules voor `sin(alpha + beta)` en `sin(alpha - beta)` .

Probeer dat zelf te doen, neem `alpha + beta = p` en `alpha - beta = q` .

verder | terug