Licht vooral toe waarom uit $sin(\frac{1}{2}h)\approx \frac{1}{2}h$ en $cos(x+\frac{1}{2}h)\approx cos(x)$ het bewijs volgt.

Je kent de kettingregel, dus `g'(x) = text(-)cos(1/2 pi - x) = text(-)sin(x)` .

`f'(x) = 2 cos(x)`

`f'(x) = 2cos(2x)`

`f'(x) = 2 sin(x) cos(x)`

`f'(x) = 2x sin(x) + x^2 cos(x)`

`f'(x) = text(-)8 sin(2x) - 2 cos(2x)`

`f'(x) = -2 cos(x) sin(x) - 3 sin(x)`

`f'(x) = 3/(cos^2(3x))`

`f'(x) = cos^2(x) - sin^2(x)`

`f'(x) = 8800pi cos(440pi x)` en raaklijn `y = 8800pi x` .

`f'(x) = cos(x) - x sin(x)` en `y = x` .

`f'(x) = 2x cos(3x) - 3x^2 sin(3x)` en `y = 0` .

`f'(x) = (tan(1/2 x))/(cos^2(1/2 x))` en `y = 0` .

`f'(x) = 2 sin(x) cos(x) - 2 cos(x) sin(x) = 0`

Met `f(x) = sin^2(x) + cos^(x) = 1` .

Evenwichtsstand `y = (3,05 + 3,15)/2 = 3,10` , amplitude `A = 0,05` , periode `60/40 = 1,5` en horizontale verschuiving `t = 0` .

De grafiek is dan zo steil mogelijk en loopt naar beneden.

Doen.

De grootste snelheid van inademen zit bijvoorbeeld bij `t = 3/4 * 1,5 = 1,125` Dan is de snelheid van inademen `L'(1,125) ~~ 0,021` .

`f(x) = sin^2(x) + sin(x)` en `f'(x) = 2 sin(x) cos(x) + cos(x) = 0` geeft `cos(x) = 0 vv sin(x) = text(-)0,5` en dit geeft `x = 1/2 pi vv x = 1 1/2 pi vv x = 1 1/6 pi vv x = 1 5/6 pi` . De extremen zijn max. `f(1/2 pi) = 2` , min. `f(1 1/6 pi) = text(-)0,25` , max. `f(1 1/2 pi) = 0` en min. `f(1 5/6 pi) = text(-)0,25` .

`f'((pi)/2) = 2 sin((pi)/2) cos((pi)/2) - p cos((pi)/2) = 0` en dit klopt voor elke `p` .

Er zijn twee situaties om te bekijken: Als `0 < p < 2` , dan is het grootste maximum `f(1,5pi) = 1 + p` en het kleinste maximum `f(0,5pi) = 1 - p` en dus moet `1 + p = 2(1 - p)` . Dit geeft `3p = 1` en dus `p = 1/3` . Als `-2 < p < 0` , dan is het kleinste maximum `f(1,5pi) = 1 + p` en het grootste maximum `f(0,5pi) = 1 - p` en dus moet `2(1 + p) = 1 - p` . Dit geeft `text(-)3p = 1` en dus `p = text(-)1/3` .

`f_1'(x) = text(-)2 sin(x) cos(x) = 0` geeft `x = k * pi vv x = 1/2 pi + k * pi` .
De toppen zijn `(k * pi, 1)` en `(1/2 pi + k * pi, 0)` .

`f_2'(x) = 8 cos(2x - 0,25pi) = 0` geeft `x = 0,375 pi + k * 0,5pi` .
De toppen zijn `(0,375 pi + k * pi; 6)` en `(0,875 pi + k * pi; 4)` .

`f_3'(x) = 2 sin(x) cos(x) + cos(x) = 0` geeft `x = 1/2 pi + k * pi vv x = 1 1/6 pi + k * 2pi vv x = 1 5/6 pi + k * 2pi` .
De toppen zijn `(1/2 pi + k * 2pi, 2)` , `(3/2 pi + k * 2pi, 0)` , `(1 1/6 pi + k * 2pi; text(-)0,25)` en `(1/2 pi + k * 2pi; text(-)0,25)` .

`f_4'(x) = 1/(1 + cos(x)) = 0` heeft geen oplossingen.

`f'(x) = 2 sin(x) cos(x) + sqrt3 sin(x) = 0` geeft `sin(x) = 0 vv cos(x) = -1/2 sqrt3` , dus `x = 0 vv x = 5/6 pi vv x = pi vv x = 7/6 pi vv x = 2pi` . Dus min. `f(0) = text(-)sqrt3 - 1` , max. `f(5/6 pi) = 3/4` , min. `f(pi) = sqrt3 - 1` , max. `f(7/6 pi) = 3/4` en max. `f(2pi) = text(-)sqrt3 - 1` .

`f"(x) = 2 cos^2(x) - 2 sin^2(x) - sqrt3 cos(x) = 0` geeft `4 cos^2(x) - sqrt3 cos(x) - 2 = 0` en `cos(x) = (sqrt3 +- sqrt(35))/8` . Dit betekent `cos(x) ~~ 0,956 vv cos(x) ~~ text(-)0,523` zodat `x ~~ 1,15 vv x ~~ 1,73 vv x ~~ 4,55 vv x ~~ 5,13` . Deze waarden moet je nog in `f` invullen voor de buigpunten.

`f'(x) = 1/(8 cos^2(x)) - cos(x) = 0` geeft `cos^3(x) = 1/8` en dus `cos(x) = 1/2` , zodat `x = +- 1/3 pi + k * 2pi` . Dus min. `f(1/3 pi) = text(-) 3/8 sqrt3` en max. `f(1 2/3 pi) = 3/8 sqrt3` .

`f"(x) = (sin(x))/(4 cos^3(x)) + sin(x)` en `f"(0) = 0` . `f'(0) = text(-) 7/8` en `f(0) = 0` en dus is de raaklijn `y = text(-) 7/8 x` .

`f(x) = 2 + cos(x) - cos^2(x) = 2` geeft `cos(x)(1 - cos(x)) = 0` en dus `cos(x) = 0 vv cos(x) = 1` .
Dit geeft `x = 0 vv x = 1/2 pi vv x = 1 1/2 pi vv x = 2pi` .

`f"(x) = text(-) sin(x) + 2 cos(x) sin(x) = 0` geeft `sin(x) = 1 vv cos(x) = 1/2` en dus `x = 1/3 pi vv x = 1/2 pi vv x = 1 2/3 pi` .
Je vindt max. `f(1/3 pi) = f(1 2/3 pi) = 2,25` en min. `f(pi) = 0` .

Bekijk de grafiek op de GR.
De lijn `y = 2` loopt horizontaal en mag de grafiek maar in twee punten snijden. Dat doet hij als `0 < p < 2 vv p = 2,25` .

De periode is `1/60` minuut. Er gaan dus `60` ademhalingen in een minuut.

De evenwichtsstand is `3,1` . De periode `1/60` . De amplitude is `0,05` . Er is geen verschuiving. Dit levert de sinusoïde `V(t) = 3,1 + 0,05 sin(120pi t)` .

Op een kwart van de amplitude is de daling van de longinhoud maximaal. Dit is bij `t = 1/240` . Dan is de snelheid gelijk aan `text(-)6pi` liter per minuut.

`f(x) = 0` geeft `sin(x) = cos(x)` en dus `x = 1/4 pi vv x = 5/4 pi` . De nulpunten zijn `(1/4 pi,0)` en `(5/4 pi, 0)` .
`f'(x) = (cos(x) + sin(x) + 1)/((sin(x) + 1)^2) = 0` geeft `cos(x) + sin(x) + 1 = 0` en `sin(x + 1/2pi) + sin(x) + 1 = 0` . Met de formules van Simpson krijg je `sqrt2 sin(x + 1/4 pi) = text(-)1` en dus `sin(x + 1/4 pi) = text(-) 1/2 sqrt2` zodat `x = pi vv x = 1,5pi` . De laatste oplossing vervalt omdat deze waarde ook een nulwaarde van de noemer is. De top is `(pi, 1)` .

Het snijpunt met de `y` -as is het punt `(0,text(-)1)` . De afgeleide heeft daar een waarde `f'(0) = 2` . De vergelijking van de gevraagde lijn is `y = 2x - 1` .

De vergelijking `f(x) = 1/2` geeft `x ~~ 1,57 vv x ~~ 3,78` . De lengte van het lijnstuk is dus `2,21` .

Loodrecht snijdende lijnen, daarvan is het product van de richtingscoëfficiënten gelijk aan `text(-)1` . De gegeven lijn snijdt de grafiek van `f` in een punt waarin de raaklijn aan `f` richtingscoëfficiënt `0,5` heeft. Dus je zoekt het punt waarvoor `f'(x) = 0,5` .
Dit geeft: `(cos(x) + sin(x) + 1)/((sin(x) + 1)^2) = 0,5` .
Deze vergelijking kun je schrijven als `0,5 sin^2(x) - cos(x) - 0,5 = 0` ofwel `0,5 cos^2(x) + cos(x) = 0` en dus `cos(x) = 0 vv cos(x) = text(-)2` . En dat geeft `x = 0,5pi vv x = 1,5pi` . Alleen `x = 0,5pi` voldoet, dus je krijgt het punt `(0,5pi; 0,5)` en `a = pi + 0,5` .

`y = 1/2 x + 4` . Neem als venster bijvoorbeeld `[0,2pi]xx[text(-)2,10]` .

`f'(x) = 0,5 + 2 cos(x) = 0` als `cos(x) = text(-)0,25` . Dit geeft de toppen `(1,82;6,85)` en `(4,46;4,29)` .

Nee die vallen niet samen, want deze grafiek is een sinus die slingert om een stijgende lijn, terwijl de standaardsinus slingert om een horizontale lijn.

`f(x) = sin^2(x) + cos(x) = text(-)cos^2(x) + cos(x) + 1 = 0` geeft `cos(x) = (text(-)1 +- sqrt5)/(2)` .
Dus `cos(x) ~~ text(-)0,618 vv cos(x) ~~ 1,618` . De laatste oplossing voldoet niet. Op het gegeven interval zijn de volgende waarden oplossingen: `x ~~ text(-) 5,38 vv x ~~ text(-) 2,24 vv x ~~ 2,24 vv x ~~ 5,38` . Dit zijn de x-coördinaten van de nulpunten.
`f'(x) = 2 sin(x) cos(x) - sin(x) = 0` geeft `sin(x) = 0 vv cos(x) = 0,5` .
Op het gegeven interval geeft dit de volgende toppen: `(+-2 pi, 1)` , `(+- pi, 1)` , `(+- 1/3 pi; 1,25)` en `(+- 5/3 pi; 1,25)` .

`f(x) = 1` geeft `cos(x) - cos^2(x) = 0` en dus `cos(x) = 0 vv cos(x) = 1` .
Dit levert op: `x = 0 vv x = +- 2pi vv x = +- 0,5pi vv x = +- 1,5 pi` . Je kunt uit de grafiek aflezen op welke intervallen de grafiek boven de gegeven lijn ligt: `text(-)2pi < x < text(-)1,5pi vv text(-)0,5pi < x < 0 vv 0 < x < 0,5pi vv 1,5pi < x < 2pi` .

`f'(x) = 1 + 2 cos(x) = 0` en dus `cos(x) = text(-)0,5` zodat `x = 2/3 pi vv x = 4/3 pi` .
Je krijgt max. `f(2/3 pi) = 2/3 pi + sqrt3` en min. `f(4/3 pi) = 4/3 pi - sqrt3` .

In de raakpunten is de afgeleide gelijk aan `1` .
`f'(x) = 1` geeft `cos(x) = 0` en dit geeft `x = 0,5pi vv x = 1,5pi` .
In `(0,5pi; 0,5pi + 2)` is de raaklijn `y = x + 2` .
In `(1,5pi; 1,5pi - 2)` is de raaklijn `y = x - 2` .

Hier moet je het bereik van de afgeleide functie bepalen. Dan bepaal je eerst de extremen met behulp van de tweede afgeleide: `f"(x) = 0` geeft `2 sin(x) = 0` en dus `x = 0 vv x = pi vv x = 2pi` . Je krijgt max. `f'(0) = f'(2pi) = 3` en min. `f'(pi) = text(-)1` . Dus `text(-)1 ≤ a ≤ 3` .