Goniometrische functies

Goniometrische functies > Goniometrische functies differentiëren

123456Goniometrische functies differentiëren

Voorbeeld 2

Bij in- en uitademen varieert het longvolume $V$ (in liters) periodiek met de tijd $t$ (in seconden). Stel je voor dat iemand's longvolume varieert tussen $3,05$ en $3,15$ L en dat deze persoon $40$ keer per minuut in- en uitademt. Neem verder aan dat $V (t)$ een zuivere sinusoïde is.
Op $t = 0$ is zijn longvolume maximaal. Bereken de grootste snelheid van uitademen.

> antwoord

Dit is een passende formule: $V (t) = 3,10 + 0,05 cos (\frac{2 π}{1,5} t)$ .
Hierin is $t$ in seconden (er gaan $40$ ademhalingen in $60$ seconden, dus de periode is $1,5$ sec.).

De grootste snelheid van uitademen vindt plaats als de grafiek de evenwichtsstand passeert vanaf een maximum naar een minimum. Bijvoorbeeld op $t = \frac{1,5}{4} = 0,375$ .
Die snelheid is dan gelijk aan de afgeleide van $V (t)$ op dat tijdstip.

Nu is: $V^{'} (t) = -0,05 \cdot sin (\frac{2 π}{1,5} t) \cdot \frac{2 π}{1,5}$ .
En daarom is: $V^{'} (0,375) = -0,05 \cdot sin (\frac{2 π}{1,5} \cdot 0,375) \cdot \frac{2 π}{1,5} \approx -0,209$ .
De maximale snelheid van uitademen in ongeveer $0,209$ L/s.

Opgave 6

Voorbeeld 2 gaat over iemand's longvolume en de snelheid van in- en uitademen.

Laat zien hoe je de formule voor `V(t)` uit de tekst kunt afleiden.

Leg uit waarom de grootste snelheid van uitademen plaats vindt als de grafiek de evenwichtsstand passeert vanaf een maximum naar een minimum.

Voer nu zelf de berekening van die maximale snelheid van uitademen uit.

En bij welke waarden van `t` krijg je de grootste snelheid van inademen? Hoe groot is die snelheid?

verder | terug