Denk om radialen. De periode van zo'n trilling is s, dus kies bijvoorbeeld als venster .
Doen. Je vindt .
`u(t) = sin(2pi * t) + sin(2pi * (t - 0)) = 2 * sin(2pi * t)`
Er is geen faseverschil omdat `r = 0` .
Met
`r = 0,25`
krijg je
`u(t) = sin(2pi * t) + sin(2pi * (t - 0,25)) = 2 * sin(2pi * (t - 0,125)) cos(0,25pi)`
en dat is een sinusoïde met een amplitude van
`2 cos(0,25pi) = sqrt2`
, een periode van
`1`
en een horizontale verschuiving van
`0,125 * 2pi = 0,25pi`
met een evenwichtslijn met vergelijking
`y=0`
.
Verder experimenteren met
`r`
levert een veranderende horizontale verschuiving op en een verandering van de amplitude.
Bij
`r = 0,5`
bijvoorbeeld wordt de amplitude
`0`
.
`u` wordt een rechte lijn als de amplitude `0` is, dus als `cos(r * pi) = 0` en dus als `r = 0,5 + k` .
`u` is geen sinusoïde.
Dat lukt alleen als beide periodes hetzelfde zijn.
In de regels van Simpson krijg je een sinusoïde als `cos(1/2 (p - q))` een constante wordt. En dat is alleen het geval als `sin(p)` en `sin(q)` dezelfde periode hebben.
Doen.
`u_3` lijkt inderdaad een sinusoïde te zijn.
Dat komt in het vervolg van deze paragraaf aan de orde. De somformules spelen daarbij een rol.
`u(t) = sin(t) + sin(t - 2) + 4 = 2 cos(1) sin(t - 1) + 4` en dit is een sinusoïde met amplitude `2 cos(1)` , evenwichtsstand `y = 4` , periode `2pi` en horizontale verschuiving `1` .
`u(t) = sin((2pi)/5 t) + sin((2pi)/5(t - 2)) + 4 = 2 cos((2pi)/5) sin((2pi)/5(t - 1)) + 4` en dit is een sinusoïde met amplitude `2 cos((2pi)/5)` , evenwichtsstand `y = 4` , periode `5` en horizontale verschuiving `1` .
`u(t) = sin((2pi)/5 t + (pi)/2) + sin((2pi)/5 (t - 2)) + 4 = 2 cos((9pi)/10) sin((2pi)/5 (t - 3/8)) + 4` en dit is een sinusoïde met amplitude `2 cos((9pi)/10)` , evenwichtsstand `y = 4` , periode `5` en horizontale verschuiving `3/8` .
`u(t) = cos((2pi)/5 t) + cos((2pi)/5(t + 3)) + 2 = 2 cos((3pi)/5) cos((2pi)/5 (t + 1,5)) + 2` en dit is een sinusoïde met amplitude `2 cos((3pi)/5)` , evenwichtsstand `y = 2` , periode `5` en horizontale verschuiving `text(-)1,5` . (Dit is een verschoven cosinus!)
De horizontale verschuiving van
`u_2`
ten opzichte van
`u_1`
is
`2`
.
Beide trillingen hebben dezelfde periode
`2pi`
.
Het faseverschil is het gedeelte van de periode dat
`u_2`
achter loopt bij
`u_1`
, dus
`2/(2pi)`
.
`u` heeft een faseverschil van `1/(2pi)` t.o.v. `u_1` en van `text(-) 1/(2pi)` t.o.v. `u_2` . Kennelijk loopt `u` evenveel achter op `u_1` als hij voor loopt op `u_2` .
De somfunctie `u` heeft een even groot faseverschil met beide sinusoïden; op de éne loopt hij evenveel voor als op de ander achter.
Doen neem als venster
`[0,4pi] xx [text(-)2,2]`
en bepaal de twee opeenvolgende toppen van
`u`
.
De frequentie is
`2pi`
, de amplitude is ongeveer
`1,82`
en de evenwichtslijn is
`y = 0`
.
Doen.
Nu is `u(t) ~~ 1,58 sin(t) + 0,91 cos(t) + 1` en dus is `u(t) ~~ sqrt(1,58^2 + 0,91^2) sin(t + alpha) + 1` met `tan(alpha) ~~ (0,91)/(1,58)` . Hieruit volgt `u(t) ~~ sqrt(1,58^2 + 0,91^2) sin(t + 0,52) + 1` .
`u_3(t) = 3 sin(t) + 4 cos(t) = sqrt(3^2 + 4^2) sin(t + alpha)`
met
`tan(alpha) = 4/3`
.
Dit geeft
`u_3(t) ~~ 5 sin(t + 0,93)`
.
Het faseverschil met
`u = sin(t)`
is
`text(-) (0,93)/(2pi)`
.
`u_3(t) = 3 sin(t) + 4 cos(t) = sqrt(3^2 + 4^2) sin(t - alpha)`
met
`tan(alpha) = 4/3`
.
Dit geeft
`u_3(t) ~~ 5 sin(t - 0,93)`
.
Het faseverschil met
`u = sin(t)`
is
`(0,93)/(2pi)`
.
`u_5(t) = text(-) u_4(t) ~~ text(-)5 sin(t - 0,93) = 5 sin(t - 2,50)`
.
Het faseverschil met
`u = sin(t)`
is
`(2,50)/(2pi)`
.
Beide functies hebben dezelfde periode.
`S(x) = 4 sin(2x) + 2 cos(2x - 5) + 1 = (4 + 2 sin(5)) sin(2x) + 2 cos(5) cos(2x) +
1 ~~ 2,08 sin(2x) + 0,57 cos(2x) + 1`
. Dit geeft
`S(x) ~~ 2,16 sin(2x + alpha) + 1`
met
`tan(alpha) ~~ (0,57)/(2,08)`
.
Dus
`S(x) ~~ 2,16 sin(2x + 0,27) + 1`
.
`S(x) ~~ 2,16 sin(2x + 0,27) + 1 = 2`
geeft
`sin(2x + 0,27) ~~ 0,46`
.
Hieruit volgt
`x ~~ 0,11 + k * pi vv x ~~ 1,19 + k * pi`
.
Beide functies hebben verschillende periodes.
`u(t) = sin(3t) + sin(4t) = 2 sin(3,5t) cos(0,5t)`
.
De periode van deze functie is
`2pi`
, bekijk de grafiek op de GR.
De periode van
`u_1`
is
`2/3 pi`
en die van
`u_2`
is
`1/2 pi`
.
Beide trillingen hebben periodes die
`2pi`
als kleinste gemeenschappelijke veelvoud hebben. Dat is de periode van
`u`
.
`u(t) = sin(t) + 2 cos(t) + 5 ~~ sqrt(5) sin(t + 1,1) + 5`
.
De frequentie is
`1/(2pi)`
en de amplitude is
`sqrt5`
.
`u(t) = sin(50pi t) + 2 cos(50pi t) + 5 ~~ sqrt(5) sin(50pi t + 1,1) + 5`
.
De frequentie is
`(50pi)/(2pi) = 25`
en de amplitude is
`sqrt5`
.
`u(t) = sin(50pi (t - 2)) + 2 cos(50pi t) + 5 = sin(50pi t) + 2 cos(50pi t) + 5 ~~
sqrt(5) sin(50pi t + 1,1) + 5`
.
De frequentie is
`(50pi)/(2pi) = 25`
en de amplitude is
`sqrt5`
.
`u(t) = sin(100pi t) + 2 cos(50pi t) + 5`
.
Dit is geen sinusoïde omdat de periodes van
`u_1`
en
`u_2`
verschillend zijn.
`u(t) = sin(880pi t) + 0,5 sin(1760pi t)`
De trilling is niet zuiver harmonisch, want de som van grondtoon en boventoon bestaat uit verschillende frequenties. De frequentie van de totale trilling van de snaar is `440` , want de frequentie van de boventoon past precies twee keer in die van de grondtoon.
Nu komt er een tweede boventoon met formule
`u_2 = 0,25 sin(2640pi t)`
bij.
Dit is een geheel veelvoud van
`440`
. De snaar blijft met
`440`
Hz trillen.
Hoorn:
`u_(text(hoorn)) = 10 sin(160pi t)`
.
Hobo:
`u_(text(hobo)) = 5 sin(800pi t)`
.
Zie figuur.
Kies voor `t` het interval `[0;0,025]` .
De maximale uitwijking uit de evenwichtsstand is `15` .
Als je beide formules optelt (met de formules van Simpson) krijg je `y_3 = sin(t) + sin(t - p) = 2 cos(0,5p) sin(t - 0,5p) = A sin(t - 0,5p)` , waarin `A` een constante is. Dit is een zuivere sinusoïde.
Als je de formules optelt krijg je
`y_3 = A sin(t - 0,5p)`
, dus de amplitude is
`A = 2cos(0,5p)`
.
Deze amplitude is gelijk aan
`2`
als
`p = k * 2pi`
.
Dat betekent: `A = 2cos(0,5p) = 0` . En dat is het geval als `p = pi + k * 2pi` .
Dat betekent: `A = 2cos(0,5p) = 1,5` . En dat is het geval als `p ~~ 1,44 + k * 4pi vv p ~~ text(-)1,44 + k * 4pi` .
De teruggekaatste golf bereikt het bootje `2 * 5/6 * 2pi = 3 1/3 pi` later. Er is dus een verschuiving van `3 1/3 pi` .
Als je op de formule bij a een somformule loslaat krijg je
`h(t) ~~ 0,67 sin(t) - 0,58 cos(t)`
.
En dit kun je schrijven als
`h(t) ~~ sqrt(0,67^2 + 0,58^2) sin(t - 0,71) ~~ 0,88 sin(t - 0,71)`
.
De frequentie is en de amplitude is .
De trillingen hebben verschillende frequenties. Deze kun je niet als zuiver sinusoïde schrijven.
.
De frequentie is Hz en de amplitude is .