Goniometrische functies

Goniometrische functies > Harmonische trilling

123456Harmonische trilling

Voorbeeld 1

Gegeven de twee harmonische trillingen $u_{1}$ en $u_{2}$ door $u_{1} = sin (t)$ en $u_{2} = sin (t - 2)$ .
Beide trillingen hebben dezelfde periode en amplitude, maar wel een faseverschil. Toon aan dat $u = u_{1} + u_{2}$ ook een harmonische trilling is.

> antwoord

Het faseverschil van beide trillingen is $\frac{2}{2 π} = \frac{1}{π}$ .

In dit geval (gelijke periodes en gelijke amplitudes) zijn de formules van Simpson goed bruikbaar:

$u (t) = sin (t) + sin (t - 2) = 2 sin (t - 1) cos (1) \approx 1,08 sin (t - 1)$

Je krijgt dus door $u_{1}$ en $u_{2}$ op te tellen een sinusoïde met een amplitude van ongeveer $1,08$ en een periode van $2 π$ . Iets dergelijks vind je steeds als je twee harmonische trillingen met gelijke periodes en gelijke amplitudes optelt: de som is dan weer een harmonische trilling. Als de éne formule een sinus en de andere een cosinusfunctie is, zet je die cos-functie eerst om in een sinus (of de sin in een cos).

Opgave 4

In Voorbeeld 1 zie je hoe twee harmonische trillingen `u_1` en `u_2` met dezelfde periode en amplitude worden opgeteld. Met de formules van Simpson kun je aantonen dat `u(t) = u_1(t) + u_2(t)` weer een sinusoïde is. Laat dit zelf zien als

`u_1(t) = sin(t)` en `u_2(t) = sin(t - 2) + 4`

`u_1(t) = sin((2pi)/5 t)` en `u_2(t) = sin((2pi)/5 (t - 2)) + 4`

`u_1(t) = cos((2pi)/5 t)` en `u_2(t) = sin((2pi)/5 (t - 2)) + 4`

`u_1(t) = cos((2pi)/5 t)` en `u_2(t) = cos((2pi)/5 (t + 3)) + 2`

Opgave 5

In Voorbeeld 1 wordt ook het faseverschil van `u_1` en `u_2` berekend.

Licht deze berekening toe.

Bereken het faseverschil van `u` ten opzicht van zowel `u_1` als `u_2` . Wat valt je op?

Kun je een algemene regel bedenken voor het faseverschil van de som van twee sinusoïden met dezelfde amplitude en dezelfde periode?

verder | terug