Goniometrische functies

Goniometrische functies > Harmonische trilling

123456Harmonische trilling

Voorbeeld 3

Gegeven de twee harmonische trillingen $u_{1}$ en $u_{2}$ door $u_{1} = sin (t)$ en $u_{2} = sin (2 t)$ .
Beide trillingen hebben verschillende periodes. Toon aan dat $u = u_{1} + u_{2}$ geen harmonische trilling is.

> antwoord

Omdat $u_{1}$ en $u_{2}$ dezelfde amplitudes hebben, kun je de formules van Simpson toepassen. Je vindt dan:
$u (t) = sin (t) + sin (2 t) = 2 sin (1,5 t) cos (0,5 t)$ .

Deze formule heeft niet de gedaante van een sinusoïde.
Maar $u (t)$ is wel periodiek. Omdat $sin (t)$ zich herhaalt met een periode van $2 π$ en $sin (2 t)$ met een periode van $π$ , past de trillingstijd van de $sin (2 t)$ precies twee keer in die van $sin (t)$ . De periode is daarom $2 π$ .
(In het algemeen is in een dergelijk geval de periode het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van beide afzonderlijke periodes.)

Opgave 9

Bekijk de twee harmonische trillingen in Voorbeeld 3. Hun som is geen harmonische trilling.

Waarom niet?

Neem nu `u_1(t) = sin(3t)` en `u_2(t) = sin(4t)` .

De grafiek van `u(t) = u_1(t) + u_2(t)` is geen harmonische trilling, maar wel periodiek. Toon dit aan.

Hoe leid je de periode van `u` af uit die van `u_1` en die van `u_2` ?

verder | terug