Goniometrische functies

Goniometrische functies > Integralen

123456Integralen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

De primitieve van $f (x) = sin (x)$ is $F (x) = - cos (x) + c$ .
De primitieve van $f (x) = cos (x)$ is $F (x) = sin (x) + c$ .

Controleer ze door differentiëren.

Gebruik de formule $cos (2 x) = 1 - 2 {cos}^{2} (x)$ , je krijgt dan $f (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x)$ . Hiervan kun je een primitieve bepalen, want je weet de primitieve van een cosinus.
Ga na, dat $F (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} sin (2 x) + c$ .

$f$ is de afgeleide van $F$ .

Ja, want $f (x) = {tan}^{2} (x) + 1 = \frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} + \frac{{cos}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)} = \frac{1}{{cos}^{2} (x)}$ .

Opgave 1

Door hem te differentiëren en na te gaan of je dan het functievoorschrift van $f$ krijgt.

En `F` differentiëren maar...

`F(x) = - 1/2 cos(2x) + c` door `(0,1)` geeft `c = 1/2` .
Dus de gevraagde primitieve is `F(x) = - 1/2 cos(2x) + 1/2` .

`G(x) = 1/3 sin(3x) + c`

Opgave 2

Als `cos(x) ≥ 0` , dan is `F(x) = text(-)ln(cos(x)) + c` en `F'(x) = text(-) 1/(cos(x)) * text(-)sin(x) = tan(x)` .
Als `cos(x) < 0` , dan is `F(x) = text(-)ln(text(-)cos(x)) + c` en `F'(x) = text(-) 1/(text(-)cos(x)) * sin(x) = tan(x)` .

Opgave 3

`F(x) = text(-)1/4 cos(4x) + 4 sin(x) + c` .

Omdat `int cos(x) * tan(x) text(d)x = int sin(x) text(d)x` is `F(x) = text(-)cos(x) + c` .

`F(t) = t + 2 {: ln|cos(t)| :} + c`

`F(t) = 250t - 20 cos(2pi(t - 2)) * 1/(2pi) + c = 250t - (10)/(pi) cos(2pi(t - 2)) + c`

Opgave 4

`F(x) = text(-)0,5cos(x) + 3 sin(2x) * 1/2 + c = text(-)0,5cos(x) + 1,5 sin(2x) + c`

`F(x) = 2x + 4 sin(0,4pi x - 0,5pi) * 1/(0,4pi) + c = 2x + (10)/(pi) sin(0,4pi x - 0,5pi) + c`

`F(x) = 3 {: ln|cos(0,5x)| :} * 1/(0,5) + c = 6 {: ln|cos(0,5x)| :} + c`

`f(x) = tan^2(x) = 1/(cos^2(x)) - 1` geeft `F(x) = tan(x) - x + c` .

`f(x) = cos^2(x) = 1/2 + 1/2 cos(2x)` geeft `F(x) = 1/2 x + 1/4 sin(2x) + c` .

`f(x) = 5sin(2x)cos(2x) = 2,5 sin(4x)` geeft `F(x) = text(-)2,5 cos(4x) * 1/4 + c = text(-)5/8 cos(4x) + c` .

Opgave 5

`int_(0)^(pi) sin(x) text(d)x = [text(-)cos(x)]_(0)^(pi) = 2` .

`int_(0)^(2pi) sin(x) text(d)x = [text(-)cos(x)]_(0)^(2pi) = 0` .

`int_(0)^(10) 6 + 12sin(0,2pi(x - 2)) text(d)x = [6x - (60)/(pi) cos(0,2pi(x - 2))]_(0)^(10) = 60` .

`int_(0)^(1) 2sin(pi x) - sin(0,5pi x) text(d)x = [text(-) 2/(pi) cos(pi x) + 2/(pi) cos(0,5pi x)]_(0)^(1) = 2/(pi)` .

`int_(0)^(pi) sin(t) cos(2t) + cos(t) sin(2t) text(d)x = int_(0)^(pi) sin(3t) text(d)x = [text(-)1/3 cos(3t)]_(0)^(pi) = 2/3` .

`int_(0)^(0,25pi) 3/(cos^2(x)) text(d)x = [3 tan(x)]_(0)^(0,25pi) = 3` .

Opgave 6

`int_0^(2pi) cos(x) text(d)x = [sin(x)]_(0)^(2pi) = 0` .

Die oppervlakte is `4 * int_0^(0,5pi) cos(x) text(d)x = 4 * [sin(x)]_(0)^(0,5pi) = 4` .

Die oppervlakte is `2` .

Opgave 7

`int_0^(pi) sin(x) text(d)x = [text(-)cos(x)]_(0)^(pi) = 2` .

`int_0^(pi) x - sin(x) text(d)x = [1/2 x^2 + cos(x)]_(0)^(pi) = 1/2 pi^2 - 2` .

`int_0^(pi) pi x^2 text(d)x - int_0^(pi) pi sin^2(x) text(d)x = [1/3 pi x^3]_(0)^(pi) - [1/2 pi x - 1/4 pi sin(2x)]_(0)^(pi) = 1/3 pi^4 - 1/2 pi^2` .

Opgave 8

Doen.

`1 + 2 + text(e)^2 + int_0^2 sqrt(1 + text(e)^(2x)) text(d)x ~~ 17,18` .

Het vlakdeel is precies het spiegelbeeld van het vlakdeel waarvan in het voorbeeld de omtrek is uitgerekend. Je spiegelt in de lijn `y = x` .

Opgave 9

Die inhoud is `int_(1/3 pi)^(2/3 pi) pi * 1/(sin^2(x)) text(d)x = int_(1/3 pi)^(2/3 pi) pi * 1/(cos^2(x - 1/2 pi)) text(d)x = [pi * tan(x - 1/2 pi)]_(1/3 pi)^(2/3 pi) = 2/3 pi sqrt3` .

Opgave 10

`[2 sin(0,5x)]_(0)^(pi) = 2` .

`[sin(x)]_(0)^(2pi) = 0` .

`[50x + (60)/(pi) sin(0,2pi x)]_(0)^(5) = 250` .

`2 * [text(-) 1/2 cos(2x)]_(0)^(0,5pi) = 2` .

`[1/2 x - 1/4 sin(2t)]_(0)^(pi) = 1/2 pi` .

`[0,5x - 0,5 tan(x)]_(0)^(0,25pi) = 0,125pi - 0,5` .

Opgave 11

`int_(1/8 pi)^(7/8 pi) sin(2x) - cos(2x) text(d)x = sqrt2` .

`int_(1/8 pi)^(1/4 pi) pi sin^2(2x) text(d)x - int_(1/8 pi)^(1/4 pi) pi cos^2(2x) text(d)x = [1/2 pi x - 1/4 pi sin(4x)]_(1/8 pi)^(1/4 pi) - [1/4 pi sin(4x) + 1/2 pi x]_(1/8 pi)^(1/4 pi) = 1/4 pi` .

Opgave 12

Kies venster bijvoorbeeld `[0,2pi] xx [text(-)2,2]` .

Bereken eerst de nulpunten van `f_0` . Je vindt `x = 1/3 pi vv x = 5/6 pi vv x = 1 1/3 pi vv x = 1 5/6 pi` .
De totale oppervlakte is `3 * int_(1/3 pi)^(5/6 pi) text(-)f_0(x) text(d)x` .
Primitiveren geeft `3 * [1/2 cos(2x) - 1/2 sqrt3 sin(2x)]_(1/3 pi)^(5/6 pi) = 3 * 2 = 6` .

Nu moet `int_(0)^(2pi) f_p(x) text(d)x = 6` , dus `[text(-) 1/2 cos(2x) + 1/2 sqrt3 sin(2x) + px]_(0)^(2pi) = 6` .
Dit geeft `2pi * p = 6` en dus `p = 3/(pi)` .

Opgave 13

De coördinaten van `O` , `A` en `T` zijn respectievelijk `(0,0)` , `(pi,0)` en `(1/2 pi,1)` .
`g(0) = 0` en `g(pi) = 0` (dus de grafiek van `g` gaat door `O` en `A` ).
$g (\frac{1}{2} π) = \frac{- 4}{π^{2}} \cdot \frac{π}{2} \cdot - \frac{π}{2} = 1$ (dus de grafiek van `g` gaat door `T` ).

`f'(x) = cos(x)` en `g'(x) = text(-)8/(pi^2) * x + 4/(pi)` .
`f'(0) = 1` en `g'(0) = 4/(pi)` .
`4/(pi) > 1` , dus in `O` is de helling van de grafiek van `g` groter dan de helling van de grafiek van `f` .

$\int_{0}^{π} (a x^{2} - a π x - sin (x)) d x = {[\frac{1}{3} a x^{3} - \frac{1}{2} a x^{2} + cos (x)]}_{0}^{π} = 0$ geeft $- \frac{1}{6} a π^{3} - 2 = 0$ en dus $a = \frac{-12}{π^{3}}$ .

(Bron: vwo examen wiskunde B in 2005, tweede tijdvak, opgave 3)

Opgave 14

`int_0^5 (1 - cos(0,2pi x)) text(d)x = [x - 5/(pi) sin(0,2pi x)]_(5)^(0) = 5` .

`int_0^5 sqrt(1 + (0,2pi sin(0,2pi x))^2) text(d)x ~~ 5,46` .

Opgave 15

`[10x - 20/(pi) sin(pi x)]{:(4),(0):} = 40` .

`[1/2 x^2 - 1/2 sin(2x)]_(0)^(pi) = 1/2 pi^2` .

`[1/2 x^2 - (1/4 sin(2x) - 1/2 x)]_(0)^(pi) = 1/2 pi^2 + 1/2 pi` .

Gebruik `tan^2(x) = 1 - 1/(cos^2(x))` .
Je krijgt dan `[tan(x)]_(0)^(0,25pi) = 1` .

Opgave 16

`int_0^(pi) sin(x) + a sin(2x) text(d)x = [text(-)cos(x) - 1/2 a cos(2x)]_(0)^(pi) = 2` en dat is onafhankelijk van `a` .

verder | terug