Goniometrische functies

Goniometrische functies > Integralen

Overzicht

123456Integralen

Voorbeeld 1

Primitiveer de volgende functies:

$f (x) = cos (3 x)$
$f (x) = 50 + 10 sin (\frac{2 π}{15} (x - 5))$
$f (x) = tan (2 x)$
$f (x) = {sin}^{2} (x)$
$f (x) = 1 + {tan}^{2} (3 x)$

> antwoord

Hier zie je hoe het primitiveren in zijn werk gaat. Soms moet je eerst de functie herleiden.

$f (x) = cos (3 x)$ geeft $F (x) = - \frac{1}{3} sin (3 x) + c$ .
$f (x) = 50 + 10 sin (\frac{2 π}{15} (x - 5))$ geeft $F (x) = 50 x - 10 \cdot \frac{15}{2 π} cos (\frac{2 π}{15} (x - 5)) + c = 50 x - \frac{75}{π} cos (\frac{2 π}{15} (x - 5)) + c$ .
$f (x) = tan (2 x)$ geeft $F (x) = - \frac{1}{2} ln | cos (2 x) | + c$ .
$f (x) = {sin}^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x)$ geeft $F (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} sin (2 x) + c = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} sin (2 x) + c$ .
$f (x) = 1 + {tan}^{2} (3 x) = 1 + \frac{{sin}^{2} (3 x)}{{cos}^{2} (3 x)} = \frac{{cos}^{2} (3 x)}{{cos}^{2} (3 x)} + \frac{{sin}^{2} (3 x)}{{cos}^{2} (3 x)} = \frac{1}{{cos}^{2} (3 x)}$ geeft $F (x) = \frac{1}{3} tan (3 x) + c$ .

Opgave 4

In Voorbeeld 1 zie je hoe je van goniometrische functies primitieven kunt bepalen. Je hebt daar af en toe de goniometrische formules bij nodig. Primitieveer nu de volgende functies.

`f(x) = 0,5sin(x) + 3 cos(2x)`

`f(x) = 2 + 4 cos(0,4pi x - 0,5pi)`

`f(x) = 3tan(0,5x)`

`f(x) = tan^2(x)`

`f(x) = cos^2(x)`

`f(x) = 5sin(2x)cos(2x)`

Opgave 5

Bepaal de volgende integralen met behulp van primitiveren.

`int_(0)^(pi) sin(x) text(d)x`

`int_(0)^(2pi) sin(x) text(d)x`

`int_(0)^(10) 6 + 12sin(0,2pi(x - 2)) text(d)x`

`int_(0)^(1) 2sin(pi x) - sin(0,5pi x) text(d)x`

`int_(0)^(pi) sin(t) cos(2t) + cos(t) sin(2t) text(d)t`

`int_(0)^(0,25pi) 3/(cos^2(x)) text(d)x`

verder | terug