Goniometrische functies

Goniometrische functies > Integralen

123456Integralen

Voorbeeld 2

Gegeven is op $[0, 2 π]$ de functie $f$ met $f (x) = cos (x)$ .
Het vlakdeel $V$ wordt ingesloten door de $x$ -as en de grafiek van $f$ . Bereken de oppervlakte en de omtrek van $V$ en de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door $V$ om de $x$ -as te wentelen.

> antwoord

Oppervlakte: $o p p (V) = \int_{0,5 π}^{1,5 π} - cos (x) d x = {[- sin (x)]}_{0,5 π}^{1,5 π} = 2$ .

Omtrek: $o m t (V) = π + \int_{0,5 π}^{1,5 π} \sqrt{1 + {sin}^{2} (x)} d x \approx 6,96$ (moet met de GR).

Inhoud: $I = \int_{0,5 π}^{1,5 π} π \cdot {cos}^{2} (x) d x$ .
Omdat $cos (2 x) = 2 {cos}^{2} (x) - 1$ , geldt: ${cos}^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 x)$ .
De integraal wordt daarmee:
$\int_{0,5 π}^{1,5 π} π (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 x)) d x = {[π (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} sin (2 x))]}_{0,5 π}^{1,5 π} = 0,5 π^{2}$ .

Opgave 6

In Voorbeeld 2 zie je de grafiek van `f(x) = cos(x)` op `[0,2pi]` .

Ga na dat `int_0^(2pi) cos(x) text(d)x = 0` .

Hoe groot is de oppervlakte van alle vier de vlakdelen tussen de grafiek van `f` en de `x` -as op dit interval samen? Verklaar het verschil met het voorgaande antwoord.

Bereken de oppervlakte van de vlakdelen tussen de grafiek en de `x` -as op `[0,pi]` .

Opgave 7

Bekijk de grafiek van `f(x) = sin(x)` op `[0,pi]` .

Bereken met behulp van integreren de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek en de `x` -as.

Bereken de oppervlakte van het vlakdeel `V` dat wordt ingesloten door de grafiek van `f` op `[0,pi]` en de lijn `y=x` .

Het vlakdeel `V` wordt gewenteld om de `y` -as.

Bereken met behulp van integreren de inhoud van het omwentelingslichaam dat daardoor ontstaat.

verder | terug