Met één van de formules van Simpson vind je: `h(x) = sin(x + 1/3 pi) - sin(x) = cos(x + 1/6 pi)` . Dit is een sinusoïde met amplitude `1` en evenwichtsstand `h = 0` .

In de snijpunten is `h(x) = 0` en dit geeft `x = 1/3 pi vv x = 4/3 pi` .
De snijpunten zijn daarom `(1/3 pi, 1 + 1/2 sqrt3)` en `(4/3 pi, text(-)1 - 1/2 sqrt3)` .

`1/3 pi < x < 4/3 pi` .

`sin(x) = cos(x - 1/4 pi)` geeft `sin(x) = sin(3/4 pi - x)` .
Dus `x = 3/4pi - x + k * 2pi vv x = pi - (3/4pi - x) + k * 2pi` .
Dit geeft `x = 3/8 pi + k * pi` .

`cos(x - 1/4 pi) = cos(x) cos(1/4 pi) + sin(x) sin(1/4 pi) = 1/2 sqrt2 cos(x) + 1/2 sqrt2 sin(x)` .
Daarmee wordt de vergelijking `(1 - 1/2 sqrt2) sin(x) - 1/2 sqrt2 cos(x) = 0,5` .
En dat geeft `sqrt((1 - 1/2 sqrt2)^2 + (1/2 sqrt2)^2) sin(x - 1,18) ~~ 1` , dus `sin(x - 1,18) ~~ 0,65` .
En hiermee vind je `x ~~ 1,89 + k * 2pi vv x ~~ 3,61 + k * 2pi` .

`sin^2(x) = 1 - 2 (1 - 2 sin^2(x))` geeft `sin^2(x) = 1/3` en dus `sin(x) = +- 1/3 sqrt3` . Dit geeft `x ~~ +- 0,62 + k * 2pi vv x ~~ +- 2,53 + k * 2pi` .

`(sin(x))/(cos(x)) = cos(x)` geeft `sin(x) = cos^2(x) = 1 - sin^2(x)` en dus `sin^2(x) + sin(x) - 1 = 0` . Met de abc-formule vind je `sin(x) = (text(-)1 + sqrt5)/2` . En dit levert op `sin(x) ~~ 0,62` en `x ~~ 0,67 + k * 2pi vv x ~~ 2,48 + k * 2pi` .

Omdat `y_1 = sin(2x)` en `y_2 = sin(x - 1/3pi)` verschillende periodes hebben.
Je kunt ook het functievoorschrift herleiden tot `f(x) = 2 sin(1,5x - 1/6 pi) cos(0,5x + 1/6 pi)` , maar ook dit is niet de juiste vorm voor een sinusoïde.

`f(x) = 0` geeft `sin(2x) = sin(1/3 pi - x)` en dus `x = 1/9 pi + k * 2/3 pi vv x = 2/3 pi + k * 2pi` . Met behulp van de grafiek vind je `0 ≤ x ≤ 1/9 pi vv 2/3 pi ≤ x ≤ 7/9 pi vv 13/9 pi ≤ x ≤ 2pi` .

`f'(x) = 2 cos(2x) + cos(x - 1/3 pi)` .
De tangens van de hoek met de `x` -as is `f'(0) = 2,5` en de hoek met de `x` -as is daarom ongeveer `68` °. De gevraagde hoek is daarom `22` °.

Neem `SQ` als hoogtelijn in driehoek `MPS` , dan is `MQ = cos(x)` en `SQ = sin(x)` . Met de stelling van Pythagoras vind je dat `QP = sqrt(4^2 - sin^2(x))` . Omdat `a(x) = MP = MQ + QP` krijg je hiermee de gegeven formule.

`a(x) = MP` is maximaal als `S` op het verlengde van `PM` ligt en dan is de lengte `1 + 4 = 5` .
`a(x) = MP` is minimaal als `S` op `PM` ligt en dan is de lengte `4 - 1 = 3` .

Dan is `cos(x) + sqrt(16 - sin^2(x)) = 4` .
De GR geeft `x ~~ 1,4 vv x ~~ 4,8` rad.

`v(x) = b(x) - a(x) = 4 - sqrt(16 - sin^2(x))` is maximaal (gebruik je GR) als `v'(x) = (sin(x) cos(x))/(sqrt(16 - sin^2(x))) = 0` . Dit geeft `sin(x) = 0 vv cos(x) = 0` .
Het maximum is `v(0,5pi) = v(1,5pi) = 4 - sqrt(15)` .

De inhoud van elke meter goot is de oppervlakte van de dwarsdoorsnede `xx 100` cm.
De dwarsdoorsnede is een trapezium met een hoogte van `20 * sin(0,25pi) ~~ 14,14` cm.
De onderste zijde van het trapezium is `20` en de bovenste zijde is `20 + 2 * 20 * cos(0,25pi) ~~ 48,28` cm.
De oppervlakte is dan ongeveer `482,74` cm². De inhoud van een meter goot is dan `48` L.

De berekening van de inhoud bij a kun je veralgemenen; je vult dan `alpha` in i.p.v. `0,25pi` . Dit geeft `W(alpha) = 1/2 * (20 + 2 * 20 * cos(alpha)) * 20 * sin(alpha)` en dat levert de gewenste formule op.

`W'(alpha) = 80 cos^2(alpha) + 40 cos(alpha) - 40 = 0` geeft `cos(alpha) = 0 vv cos(alpha) = text(-)1` .
Dit geeft `alpha = 1/3 pi` .

De vorm van een boog is ook een zeer bruikbare vorm.
Verder hoeft de onderzijde geen `20` cm te zijn. Deze lengte kun je variabel maken. Er is een hoop aan te rekenen.

Vanwege de ln-functie moet `x > 0` .
Verder moet `1 + ln^2(x) != 0` , maar dat is voor elke `x > 0` het geval. Dus `text(D)_f = (:0,rarr:)` .

$l\text{'}\left(\alpha \right)=\frac{-{cos}^3(\alpha )+2{sin}^3(\alpha )}{{sin}^2(\alpha )\cdot {cos}^2(\alpha )}$ en $l\text{'}=0$ als $tan(\alpha )=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ en dus $\alpha \approx \mathrm{0,67}$. En dan is (zie grafiek) min.$l(\mathrm{0,67})\approx \mathrm{4,16}$. Deze waarde betekent dat een lengte van 4,16 m nog net door de bocht kan.

De lengte van de plank is kleiner dan $\mathrm{4,16}$ m en hij kan dus om de bocht.

Aan het feit dat de toppen van de resulterende grafiek op twee sinusoïden lijken te liggen.

-

-

Omdat de amplitude niet spontaan $0$ zal worden, maar steeds langzamer kleiner wordt.

Na $t={}^{\mathrm{0,8}}log(\mathrm{0,5})\approx \mathrm{3,1}$ seconden.

Dat maximum is ${\mathrm{0,8}}^{\mathrm{0,25}}\approx \mathrm{0,95}$. Het maximum dat precies de helft hiervan is zou $\mathrm{3,1}$ seconden later optreden, maar daar heeft de grafiek geen maximale waarde. Dus er is geen maximum dat precies de helft is.

De lengte is `1 + sqrt2` en de breedte is `1 + 1/2 sqrt2` , dus de oppervlakte is `(1 + sqrt2)(1 + 1/2 sqrt2) = 2 + 1 1/2 sqrt2` .

Zie de figuur hieronder. Hieruit volgt de formule.

De vierkantjes moeten zo liggen dat lengte en breedte van de omhullende rechthoek verwisseld zijn.

`R'(t) = cos(t)(1 + sin(t) + cos(t)) + (1 + sin(t))(cos(t) - sin(t))` .
Nog even `0` invullen en klaar.

`f_2` is minimaal `1` en maximaal `2` geeft `a = 1,5` en bijvoorbeeld `b = 0,5` .
De periode is `pi` , dus `c = 2` .
De grafiek van `f_2` snijden met `y = 1,5` geeft bijvoorbeeld `d = 3/4 pi` (of `d ~~ 2,36` ).

Gevraagd wordt het aantal oplossingen van `1 + sin^2(1/6 pi) + cos(n/6 pi) = 1/4` .
Dit geeft `cos(n/6 pi) = text(-)1` en dit is het geval als `n = 6` , `n = 18` , `n = 30` , of `n = 48` .

Gebruik de formule `cos(2x) = 1 - 2 sin^2(x)` .
Je vindt dan de gewenste formule.

De oppervlakte van het gebied onder de grafiek van `f_4` is `int_(0)^(2pi) (1,5 - 0,5 cos(2x) + cos(4)) text(d)x = [1,5x - 0,25 sin(2x) + 0,25 cos(4x)]_(0)^(2pi) = 3pi` .
De oppervlakte van de rechthoek `OABC` is `6pi` , dus ook het gebied boven de grafiek van `f_4` heeft oppervlakte `3pi` .