Omdat de tijd $t$ precies gelijk op loopt met de grootte van de draaihoek in radialen. Je neemt dan aan dat $t=0$ als $P$ het punt `(4,0)` is. De straal van de cirkel is nu `4` , dus `x_P = 4 cos(t)` en `y_P = 4 sin(t)` .

Dan is `P(text(-)4,0)` .

De hoeksnelheid is de snelheid waarmee vector `vec(OP)` draait en de baansnelheid is de werkelijke snelheid van het punt in cm per seconde.

De hoeksnelheid is dan `(2pi)/10` rad/s en de baansnelheid is `(8pi)/10` cm/s.

`P(x(t),y(t)) = (6 cos((2pi)/15 * t), 6 sin((2pi)/15 * t))`

De hoeksnelheid is `(2pi)/15` rad/s en de baansnelheid is `(12pi)/15` m/s.

`P(x(t),y(t)) = (1 + 6 cos((2pi)/15 * t), 2 + 6 sin((2pi)/15 * t))`

Omdat $P$ eigenlijk niet om $O$ draait, maar om $M$, en deze punten niet samenvallen.

Ja, $P$ legt $\frac{12\pi }{15}$ m/s af.

Venster bijvoorbeeld `[-6,8] xx [-5,9]` in `t` in `[0,15]` . Denk om radialen!

Omdat punt $P$ in $15$ seconden de hele kromme doorloopt en daarna dit kunstje alleen maar herhaalt.

Dan komt er maar een deel van een cirkel uit.

Je krijgt dan een regelmatige vijftienhoek. Maar in feite klopt dat niet, alleen de hoekpunten zijn deel van de kromme, de verbindingslijnen horen niet te worden getekend.

`(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = (6 cos((2pi)/15 * t))^2 + (6 cos((2pi)/15 * t))^2 = 36 (cos^2((2pi)/15 * t) + sin^2((2pi)/15 * t)) = 36` . En dus is de lengte van `vec(MP)` altijd `sqrt(36) = 6` eenheden.
De punten van de kromme voldoen aan `(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 36` .

Ja, je krijgt dezelfde kromme, maar hij wordt anders doorlopen. Bijvoorbeeld is `t = 0` nu een ander punt van de kromme.

Eigen antwoord.

Venster bijvoorbeeld `[-5,5] xx [0,10]` .

Algebraïsch: `y = 4,5 + 4 sin((2pi)/30 * t) = 7,5` geeft `sin((2pi)/30 * t) = 0,875` .
Dit geeft `(pi)/15 * t ~~ 1,065 + k * 2pi vv (pi)/15 * t ~~ 2,076 + k * 2pi` en dus `t ~~ 5,09 + k * 30 vv t ~~ 9,91 + k * 30` . Ga na, dat je met de GR hetzelfde vindt.

De baansnelheid is `(8pi)/30 ~~ 0,838` m/s en dat is ongeveer `3,016` km/h.

Pas de stelling van Pythagoras toe en laat zien dat: `x^2 + (y - 4,5)^2 = 16` .

Bekijk de kromme die op je GR ontstaat. Op `t = 0` zit het bakje in `(0;8,5)` .

Bijvoorbeeld `(x,y) = (4 sin((2pi)/30 * t); 4,5 - 4 cos((2pi)/30 * t))` .

Doen.

In het punt `(0,2)` . Je vindt deze coördinaten door `t = 1/2 pi` in te vullen in beide formules.

Op `t ~~ 1,05 vv t ~~ 1,57 vv t ~~ 4,19 vv t ~~ 4,71` .

In `(6,0)` en in `(-6,0)` beweeg je het snelst.

`(x,y) = (4 cos(t) + 2 cos(2t), 4 sin(t) + 2 sin(2t))`

Doen. Je vindt `t ~~ 1,19 vv t ~~ 5,09` en als bijbehorende punten `(0;5,08)` en `(0; -5,08)` .

`x = 4 cos(t) + 2 cos(2t) = 0` geeft `4 cos(t) + 2(2 cos^2(t) - 1) = 0` en dus `4 cos^2(t) + 4 cos(t) - 2 = 0` . Dit kun je oplossen met de abc-formule en de juiste `t` -waarden benaderen. Die moet je dan nog invullen in de parametervoorstelling.

De straal van de tweede cirkel (waarvan het middelpunt de eerste cirkel doorloopt) wordt nu `3` m. De kromme krijgt daardoor een lus.

Als `r = 4` , dan zijn de stralen van beide cirkels gelijk.

`(x,y) = (4 cos(t) + 2 cos(3t), 4 sin(t) - 2 sin(3t))` , omdat `cos(-2t) = cos(2t)` en `sin(-2t) = - sin(2t)` .

Doen.

Als `P` de plaats van het bakje is, is `OP = (4 cos(t) + 2 cos(3t))^2 + (4 sin(t) - 2 sin(3t))^2 = 20 + 16 cos(4t)` . Deze uitdrukking is maximaal als `cos(4t) = 1` , dus als `4t = k * 2pi` , ofwel `t = k * 1/2 pi` . Als deze uitdrukking maximaal is, is het punt `sqrt(36) = 6` m van `O` verwijderd.

Eigen antwoorden.

Venster bijvoorbeeld `[7,13] xx [2,8]` .

Deze staat op coördinaten `(10,5)` .

De amplitude is in beide richtingen `2` . Dit is de lengte van het touw.

De grootte van de snelheid is constant.

De baan van het steentje is `4pi` m en de periode is `(2pi)/4 = 0,5pi` s. De snelheid is dus `8` m/s.

De richting van de snelheid verandert voortdurend, anders blijft de steen niet in de beschreven baan.

Omdat `sin(4t) = (x - 10)/2` en `cos(4t) = (y - 5)/2` en `sin^2(4t) + cos^2(4t) = 1` geldt `(x - 10)^2 + (y - 5)^2 = 4` .

Uit de amplitudes van beide sinusoïden lees je af dat een geschikt venster bijvoorbeeld is `[-8,8]xx[-4,4]` of iets groter.

De amplitudes zijn in beide richtingen verschillend.

`vec(OP)` draait met een vaste snelheid van `2pi` rad/s. Rond de `y` -as legt `P` grotere lengtes per bijvoorbeeld honderdste seconde af dan rond de `x` -as.

`4 sin(t) = 1` geeft `sin(t)=0,25` en dus `t ~~ 0,253 + k * 2pi vv t ~~ 2,889 + k * 2pi` .
Dus de punten zijn `(+-0,97;1)` .

`(8 cos(t))^2 + (4 sin(t))^2 = 36` geeft `64 - 48 sin^2(t) = 36` en dus `sin(t) = +- 7/12` .
Dit geeft `t ~~ +- 0,623 + k * 2pi vv t ~~ 2,519 + k * 2pi` .
En hieruit vind je `(6,50; 2,33)` , `(-6,50; 2,33)` , `(-6,50; -2,33)` en `(6,50; -2,33)` .

Je kunt de baan beschrijven door $x(t)=3+5cos(2t)$ en $y(t)=4+5sin(2t)$.
Maar ook door $x(t)=3+5sin(2t)$ en $y(t)=4+5cos(2t)$.

Er geldt `cos(2t) = (x - 3)/5` en `sin(2t) = (y - 4)/5` en `sin^2(2t) + cos^2(2t) = 1` .
Dit geeft `(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25` .

Eenparige cirkelbeweging met positieve draairichting en startpunt `(8,6)` .

Geen eenparige cirkelbeweging, positieve draairichting en startpunt `(4,0)` .

Geen eenparige cirkelbeweging, positieve draairichting en startpunt `(4,0)` .

Eenparige cirkelbeweging met negatieve draairichting en startpunt `(6,2)` .

Doen. De figuur is eigenlijk niet correct, er horen afzonderlijke punten te worden getekend, de verbindingslijnen zijn in feite geen deel van de kromme.

Nee, twee opeenvolgende punten komen steeds verder uit elkaar te liggen.

Er geldt steeds $x^2+y^2={cos}^2(t^2)+{sin}^2(t^2)=1$. De straal van de cirkel is dus $1$.

In `(1,6)` .

Laat `P` lopen vanaf bijvoorbeeld `t = 0` tot `t = 2` met een voldoend kleine stapgrootte.

De hoeksnelheid van `vec(OP)` is `(2pi)/2 = pi` m/s.
De baansnelheid is `2 pi` m/s.

De richting van de snelheid verandert voortdurend.

`1 + 2 sin(pi t) = 0` geeft `sin(pi t) = text(-) 0,5` en dus `t = 7/6 + k * 2 vv t = 11/6 + k * 2` .
De bijbehorende punten zijn `(0, 4 +- sqrt3)` .

Je kunt de kromme schrijven als `(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4` en daar vul je dan `y = 2x` in. Dit geeft `x = 1 +- sqrt(0,8)` en dus krijg je de punten `(1 + sqrt(0,8), 2 + 2 sqrt(0,8))` en `(1 - sqrt(0,8), 2 - 2 sqrt(0,8))` .

Omdat een reuzenrad in het algemeen gelijkmatig beweegt, de hoeksnelheid van $\stackrel{⟶}{MP}$ zal constant zijn.

$(x,y)=(\mathrm{67,5}sin(\frac{2\pi }{30}t),\mathrm{67,5}-\mathrm{67,5}cos(\frac{2\pi }{30}t))$

De hoeksnelheid van $\stackrel{⟶}{MP}$ is `(2pi)/30 = 1/15 pi` rad/minuut.
De baansnelheid is `(135pi)/30 = 4,5` m/minuut en dat is `2,7` km/uur.

$\mathrm{67,5}-\mathrm{67,5}cos(\frac{2\pi }{30}t)=120$ geeft $cos(\frac{2\pi }{30}t)=\mathrm{-}\frac{7}{9}$.
Hieruit volgt $t\approx \pm 11.75+k\cdot 2\pi$.
Binnen één ronde zit je daarom ongeveer $\mathrm{18,25}-\mathrm{11,75}=\mathrm{6,5}$ minuut boven de $120$ m.