Parameterkrommen

Parameterkrommen > Periodieke beweging

12345Periodieke beweging

Voorbeeld 1

Een parameterkromme is gegeven door $(x, y) = (3 + 5 cos (\frac{2 π}{10} \cdot t), 2 + 5 sin (\frac{2 π}{10} \cdot t))$ .
Breng deze kromme in beeld op de grafische rekenmachine.
Leg uit waarom dit een eenparige cirkelbeweging betreft en bereken de snelheid waarmee een punt $P$ van deze kromme beweegt.

> antwoord

In het Practicum zie je hoe je GR parameterkrommen in beeld kan brengen. Hiernaast zie je de kromme.
Omdat $x (t)$ een sinusoïde is met evenwichtsstand $x = 3$ en amplitude $5$ geldt: $-2 \leq x \leq 7$ .
Omdat $y (t)$ een sinusoïde is met evenwichtsstand $y = 2$ en amplitude $5$ geldt: $-3 \leq x \leq 8$ .
Dit bepaalt je vensterinstellingen. Je lijkt een cirkel met middelpunt $M (3, 2)$ en straal $5$ te krijgen.

De periode van beide functies is $10$ , dus de cirkel wordt in $10$ seconden doorlopen.
De hoeksnelheid van $\overset{⟶}{M P}$ is $\frac{2 π}{10} = 0,2 π$ rad/s.
De snelheid waarmee $P$ beweegt is $5$ keer zo groot, dus $π$ eenheden/s.

De kromme is inderdaad een cirkel met middelpunt $M (3, 2)$ en straal $5$ als de afstand van elk punt $P$ op de cirkel tot $M$ gelijk is aan $5$ . Met de stelling van Pythagoras toon je aan dat dit voor elke $P (x, y)$ klopt.

Opgave 5

Bekijk Voorbeeld 1. Gegeven is nu een parameterkromme door `P(x(t),y(t)) = (1 + 6 cos((2pi)/15 * t), 2 + 6 sin((2pi)/15 * t))` .

Breng deze parameterkromme op je grafische rekenmachine volledig in beeld. Welk interval moet je dan voor de parameter `t` kiezen?

Waarom krijg je dezelfde kromme als je voor `t` waarden kiest vanaf $-15$ tot $40$ ?

Wat krijg je voor figuur als je voor `t` waarden kiest vanaf $0$ tot $8$ ?

Je kunt ook de stapgrootte van `t` instellen. Wat gebeurt er als je die op `1` instelt, te beginnen bij `t = 0` ?

Opgave 6

Bekijk Voorbeeld 1. Er wordt beweerd dat `P` over een cirkel met middelpunt `M(3,2)` loopt.

Bewijs dit met behulp van de stelling van Pythagoras. Aan welke vergelijking in `x` en `y` voldoet elk punt van deze kromme?

Maak op je rekenmachine de parameterkromme waarvoor geldt $(x, y) = (3 + 5 sin (\frac{2 π}{10} \cdot t), 2 + 5 cos (\frac{2 π}{10} \cdot t))$ .
Krijg je dezelfde kromme als in het voorbeeld of zijn er verschillen? En zo ja, wat zijn die verschillen?

verder | terug