Parameterkrommen

Opgave 10

Gegeven is de kromme $k$ door $(x, y) = (5 sin (\frac{1}{2} π t), 4 + 2 sin (π (t)))$ .

a

Is $k$ een Lissajousfiguur?

b

Breng $k$ in beeld op je grafische rekenmachine.

c

Je doorloopt deze kromme vanaf $t = 0$ . Voor welke waarde van $t$ heb je de gehele kromme precies één keer doorlopen?

d

Bereken algebraïsch de uiterste punten van $k$ .

e

Bij deze kromme past ook de vergelijking $5 {(y - 4)}^{2} = 4 x^{2} (1 - x^{2})$ . Toon dit aan.

Opgave 11

Een punt `A` beweegt in het `Oyx` -vlak volgens de parameterkromme met `x(t) = 4 cos(2t)` en `y(t) = 4 cos(t)` .

a

Breng deze kromme in beeld op de grafische rekenmachine.

b

De kromme lijkt op een deel van een parabool. Toon aan dat dit inderdaad zo is door te laten zien dat de parametervoorstelling kan worden geschreven in de vorm `x = ay^2 + by + c` .

c

De lijn met vergelijking `y = x` snijdt deze kromme. Bereken de snijpunten.

Opgave 12

De ellips `e` wordt gegeven door `x = 5 sin(t) + 4` en `y = 3 cos(t) + 3` .

a

Bereken algebraïsch de snijpunten van deze ellips met beide assen. Geef waar nodig benaderingen in één decimaal nauwkeurig.

b

Breng de kromme in beeld op je grafische rekenmachine.

c

Welke uiterste punten heeft de ellips?

d

Bereken algebraïsch de afstand tussen de punten op de kromme waarvoor `x = 2` in één decimaal nauwkeurig.

e

Laat zien dat voor deze ellips geldt `9(x - 4)^2 + 25(y - 3)^2 = 45` .

Opgave 13

Bekijk de kromme `m` met parametervoorstelling `x(t) = t - 0,5 sin(2t)` en `y(t) = 2 - 2 cos(2t)` met `t` in het interval `[0,2pi]` .

a

Waarom is dit geen Lissajousfiguur?

b

Bereken de snijpunten van `m` met de `x` -as.

c

Welke waarden nemen `x` en `y` aan?

d

Breng de kromme in beeld met je grafische rekenmachine. Verklaar waarom deze kromme `M` heet.

Opgave 14

Een punt `P` doorloopt met een snelheid van `10` m/s een cirkel met een straal van `5` m. Neem `O(0,0)` als middelpunt van deze cirkel in een `Oxy` -assenstelsel met eenheden op de assen van `1` m. Het punt start op `t = 0` in `(5,0)` .

a

Stel een parametervoorstelling van de baan van `P` op.

Een ander punt `Q` beweegt met `5` m/s in een rechte lijn vanaf het punt `(text(-)10,text(-)4)` (op `t = 0` ) naar het punt `(6,8)` .

b

Stel een parametervoorstelling van deze beweging op.

c

Onderzoek met je grafische rekenmachine of `P` en `Q` met elkaar botsen.

d

De twee krommen hebben twee snijpunten. Bereken die snijpunten algebraïsch in één decimaal nauwkeurig.

Verwerken