De functies $(x(t)$ en $(y(t)$ zijn geen sinusoïden.

$(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))=(\mathrm{-}4sin(t)-4sin(2t),4cos(t)+4cos(2t))$

$(x^{\prime }(0),y^{\prime }(0))=(0;8)$. Controleer dit door $t=0$ in te stellen en dan $h\to 0$ te schuiven.

Met $8$ m/s.

$(x^{\prime }(\frac{1}{2}\mathrm{\pi }),y^{\prime }(\frac{1}{2}\mathrm{\pi }))=(-4;-4)$. Controleer dit door $t=\mathrm{1,57}$ in te stellen en dan $h\to 0$ te schuiven.

De snelheid van punt $P$ op dit tijdstip is $v=\sqrt{{(-4)}^2+{(-4)}^2}=4\sqrt{2}$ m/s.

Eigen antwoorden.

De snelheidsvector geeft de richting aan waarin wordt bewogen en is dus een richtingsvector. Een richtingsvector $(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))$ heeft een helling van $\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}$ en die helling is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn, dus $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{y\text{'}(t)}{x\text{'}(t)}$.

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{y\text{'}(\frac{1}{2}\mathrm{\pi })}{x\text{'}(\frac{1}{2}\mathrm{\pi })}=\frac{-4}{-4}=1$ (zie de vorige opgave bij d).

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}==1$ is de richtingscoëfficiënt van deze raaklijn, die ook door $P(-2,4)$ gaat.
De vergelijking van deze raaklijn is dus $y=x+6$.

Horizontale raaklijnen zitten in punten met $y^{\prime }(t)=0$. Alleen mag dan niet ook $x^{\prime }(t)=0$, want dan krijg je een onbestaanbare uitkomst voor de richtingscoëfficiënt.

$y^{\prime }(t)=4cos(t)+4cos(2t)=0$ geeft: $cos(t)+cos(2t)=0$ en dus
$2{cos}^2(t)+cos(t)-1=0$, zodat $cos(t)=-1\vee cos(t)=\mathrm{0,5}$.
Hieruit volgt: $t=\pi +k\cdot 2\pi \vee t=\frac{1}{3}\pi +k\cdot 2\pi \vee t=\mathrm{-}\frac{1}{3}\pi +k\cdot 2\pi$.
Ga na, dat dit oplevert: $(2,3\sqrt{3})$ en $(2,-3\sqrt{3})$. Denk er om dat $x^{\prime }(t)\ne 0$, dus $(-2,0)$ vervalt.

De bijbehorende vergelijkingen zijn $y=\pm 3\sqrt{3}$.

Verticale raaklijnen zitten in punten met $x^{\prime }(t)=0$. Alleen mag dan niet ook $y^{\prime }(t)=0$, want dan krijg je een onbestaanbare uitkomst voor de richtingscoëfficiënt.

$x^{\prime }(t)=-4sin(t)-4sin(2t)=0$ geeft: $sin(t)-sin(2t)=0$ en dus
$sin(t)-2sin(t)cos(t)=0$, zodat $sin(t)=0\vee cos(t)=\mathrm{-0,5}$.
Hieruit volgt: $t=k\cdot \pi \vee t=\frac{2}{3}\pi +k\cdot 2\pi \vee t=\mathrm{-}\frac{2}{3}\pi +k\cdot 2\pi$.
Ga na, dat dit als uiterste punten oplevert: $(6,0)$, $(-3,\sqrt{3})$ en $(-3,\mathrm{-}\sqrt{3})$. Denk er weer om dat $x^{\prime }(t)\ne 0$, dus $(-2,0)$ vervalt.

De bijbehorende vergelijkingen zijn $x=-3\sqrt{3}$ en $x=6\sqrt{3}$.

In het punt `(6,0)` en die snelheid is `8` m/s.

Dat is in het punt `(text(-)2,0)` , dat wordt bereikt op `t = pi` s.

Niets anders dan dat die helling onbepaald is.

`text(-)5 ≤ x ≤ 5` en `text(-)5 ≤ y ≤ 5` .

De snelheidsvector is `vec(v) = (text(-)10 sin(2t), 15 cos(3t))` .
De snelheid op `t = 0` is daarom `v = sqrt((x'(0))^2 + (y'(0))^2) = sqrt(0^2 + 15^2) = 15` .
De snelheid op `t = 1/4 pi` is daarom `v = sqrt((x'(1/4 pi))^2 + (y'(1/4 pi))^2) = sqrt((text(-)10)^2 + (text(-)7,5 sqrt2)^2) ~~ 14,58` .

Op `t = 0` is de r.c. `(text(d)y)/(text(d)x) = (y'(0))/(x'(0))` en die bestaat niet. De raaklijn is daarom verticaal. Omdat hij door `(5,0)` gaat is de vergelijking `x = 5` .
Op `t = 1/4 pi` is de r.c. `(text(d)y)/(text(d)x) = (y'(1/4 pi))/(x'(1/4 pi)) = (text(-)7,5 sqrt2)/(text(-)10) = 3/4 sqrt2` . Omdat de raaklijn door `(0;2,5sqrt2)` gaat is de vergelijking `y = 0,75x sqrt2 + 2,5sqrt2` .

Vul `x = t` en `y = at + b` in de gegeven vergelijking in en je ziet dat er aan beide zijden voor elke waarde van `t` hetzelfde staat.

Ja, er zijn veel parametervoorstellingen mogelijk, bijvoorbeeld `x(t) = 2t` en `y(t) = 2at + b` of `y(t) = t` en `x(t) = (t - b)/a` (hoewel deze laatste alleen geldt als `a != 0` ).

`vec(v) = (x'(t),y'(t)) = (1,a)` .

De snelheidsvector is `vec(v) = (x'(t),y'(t)) = (r cos(t), text(-)r sin(t))` .
De snelheid is `v = sqrt((r cos(t))^2 + (text(-)r sin(t))^2) = sqrt(r^2(cos^2(t) + sin^2(t))) = r` .
Dus een punt wat gelijkmatig beweegt op een cirkel met een grotere straal heeft ook een grotere snelheid.

Raaklijn evenwijdig `x` -as: `y'(t) = 0 ^^ x'(t) != 0` .
Dit geeft `15 cos(3t) = 0 ^^ text(-)10 sin(2t) != 0` en dus `t = 1/6 pi + k * 1/3 pi` , behalve de punten waarin `t = k * 1/2 pi` . Hieruit vind je de punten `(2,5; 5)` en `(2,5; text(-)5)` .
Raaklijn evenwijdig `y` -as: `x'(t) = 0 ^^ y'(t) != 0` .
Dit geeft `text(-)10 sin(2t) = 0 ^^ 15 cos(3t) != 0` en dus `t = k * 1/2 pi` , behalve de punten waarin `t = 1/6 pi + k * 1/3 pi` . Hieruit vind je het punt `(5,0)` .

In een keerpunt is: `y'(t) = 0 ^^ x'(t) = 0` .
Dit geeft `15 cos(3t) = 0 ^^ text(-)10 sin(2t) = 0` en dus `t = 1/6 pi + k * 1/3 pi ^^ t = k * 1/2 pi` . Hieruit vind je de punten `(text(-)5; 5)` en `(text(-)5; text(-)5)` .

Als je een afgelegde afstand wilt uitrekenen, dan vermenigvuldig je de snelheid met de tijdsduur. Daarbij moet je aannemen dat die snelheid constant is gedurende die tijdsduur. Noem de tijd `t` en neem aan dat je begint op `t = a` en eindigt op `t = b` . De snelheid verandert voortdurend op dit interval. Nu verdeel je dit interval in `n` gelijke stukjes `Delta t` . Voor de afgelegde weg op zo'n stukje geldt dan bij goede benadering dat hij inligt tussen `v_(text(min))(t_k) * Delta t` en `v_(text(max))(t_k) * Delta t` .
Tel je nu de afgelegde weg van al die intervallen bij elkaar op dan krijg je een ondersom en een bovensom: $\underset{¯}{S}=\sum _{k=0}^n{v}_{min}(t_k)\cdot \text{∆}t$ en $\overline{S}=\sum _{k=0}^n{v}_{max}(t_k)\cdot ∆t$.
Als nu `Delta t → 0` dan zullen de ondersom en de bovensom elkaar naderen tot $L=\underset{a}{\overset{b}{\int }}v(t)\text{d}t$.

Je moet dit weten omdat je moet weten op welk interval er moet worden geïntegreerd. Een kromme kan namelijk meerdere malen worden doorlopen en dan krijg je een veel te grote lengte. Of - als je een te klein interval neemt - dan krijg je de lengte van een deel van de kromme.
Hier kun je aan de formules voor `x(t)` en `y(t)` zien dat voor `0 ≤ t ≤ 2pi` de kromme precies één keer geheel wordt doorlopen. Immers `sin(t)` en `cos(t)` hebben als periode `2pi` en `sin(2t)` en `cos(2t)` hebben als periode `pi` .

Doen.

De periode van `x(t) = 5 cos(2t)` is `pi` .
De periode van `y(t) = 5 sin(3t)` is `2/3 pi` .
De kleinste periode die een veelvoud is van deze twee periodes is `2pi` .
Dus moet `0 ≤ t ≤ 2pi` .

`int_(0)^(2pi) sqrt((text(-)10 sin(2t))^2 + (15 cos(3t))^2) text(d)t ~~ 76,05` .

`int_(1/2 pi)^(2 1/2 pi) sqrt((text(-)10 sin(2t))^2 + (15 cos(3t))^2) text(d)t ~~ 76,05` .

Er geldt: $0\le x\le 4$, $0\le y\le 4$ en $0\le t\le 2\pi$.

$P$ beweegt het snelst als het de oorsprong passeert. Dat gebeurt als $x(t)=0\wedge y(t)=0$. Dus als $cos(2t)=0$, zodat $t=\frac{1}{4}\pi +k\cdot \frac{1}{2}\pi$.

De snelheidsvector is $(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))=(-8sin(2t)cos(t)-4cos(2t)sin(t),-8sin(2t)sin(t)+4cos(2t)cos(t))$.
De snelheid is dan $v=\sqrt{{(x^{\prime }(\frac{1}{4}\pi ))}^2+{(y^{\prime }(\frac{1}{4}\pi ))}^2}=4\sqrt{2}$. Die snelheid is voor alle andere waarden van $t$ hetzelfde.

In $O(0,0)$ heb je te maken met twee verschillende richtingscoëfficiënten, namelijk:

• voor $t=\frac{1}{4}\pi +k\cdot \pi$ een r.c. van $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=1$;

• voor $t=\frac{3}{4}\pi +k\cdot \pi$ een r.c. van $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=-1$;

En daarom staan beide bewegingsrichtingen loodrecht op elkaar.

Neem als venster `[-4,4]xx[-4,4]` .

`x'(t) = 0 ^^ y'(t) != 0` geeft `text(-)8 sin(2t) = 0 ^^ text(-)4 sin(t) != 0` .
Dit levert op `t = k * 1/2 pi ^^ t != k * pi` .
Hieruit volgt het punt `(text(-)4,0)` .

In de keerpunten is `x'(t) = 0 ^^ y'(t) = 0` . Dit geeft `t != k * pi` . De bijbehorende keerpunten zijn daarom `(+-4,4)` .

`int_(0)^(2pi) sqrt((text(-)8 sin(2t))^2 + (text(-)4 sin(t))^2) text(d)t ~~ 37,2` .

`x'(t) = 0 ^^ y'(t) = 0` geeft `1 - cos(2t) = 0 ^^ 2 sin(2t) = 0` en dus `t = k * pi` . Dit geeft de punten `(0,0)` , `(pi,0)` en `(2pi, 0)` .

`y'(t) = 0 ^^ x'(t) != 0` geeft `2 sin(2t) = 0 ^^ 1 - cos(2t) != 0` , dus `t = 1/2 pi + k * pi` .
Hierbij vind je de punten `(1/2 pi,4)` en `(1 1/2 pi,4)` .

`int_(0)^(2pi) sqrt((2 sin(2t))^2 + (1 - cos(2t))^2) text(d)t ~~ 11,04` .

Evenwijdig `x` -as: `y'(t) = 0 ^^ x'(t) != 0` geeft `4 cos(t) + 2 cos(2t) = 0 ^^ 6 cos(t) - 2 sin(2t) != 0` en dit levert op `4 cos^2(t) + 4 cos(t) - 2 = 0` waaruit volgt `cos(t) = text(-)1/2 + 1/2 sqrt3` en `t ~~ 1,196 vv t ~~ 5,087` . Je vindt de punten `(4,9;4,4)` en `(text(-)6,3;text(-)4,4)` .

Evenwijdig `y` -as: `x'(t) = 0 ^^ y'(t) != 0` geeft `6 cos(t) - 2 sin(2t) = 0 ^^ 4 cos(t) + 2 cos(2t) != 0` en dit levert op `2 cos(t)(3 - 2 sin(t)) = 0` waaruit volgt `cos(t) = 0` en `t = 1/2 pi vv t = 1 1/2 pi` . Je vindt de punten `(5,4)` en `(text(-)7,text(-)4)` .

Neem venster `[text(-)7,5] xx [text(-5),5]` .

Bekijk de kromme op de GR. Het punt `(1,0)` wordt twee keer doorlopen.
Dat gebeurt als `y = 4 sin(t) + sin(2t) = 0` , dus als `sin(t)(4 + 2 cos(t)) = 0` . Dit geeft `t = 0 vv t = pi` .
De bijbehorende hellingwaarden zijn `(text(d)y)/(text(d)x) = 1` en `(text(d)y)/(text(d)x) = 1/3` . De bijbehorende raaklijnen zijn `y = x - 1` en `y = 1/3 x - 1/3` .

`-5 ≤ x(t) ≤ 5` en `-5 ≤ y(t) ≤ 5` . Neem `0 ≤ t ≤ 2pi` .

Doen, neem als venster bijvoorbeeld `[-5,5]xx[-5,5]` . Het is een Lissajousfiguur omdat zowel `x(t)` als `y(t)` sinusoïden zijn.

Raaklijn evenwijdig met de `x` -as: `y'(t) = 15 cos(3t) = 0 ^^ x'(t) = 5 cos(t) != 0` geeft `t = 1/6 pi + k * 1/3 pi ^^ t != 1/2 pi + k * 2pi` . Dus `(2,5;5)` en `(text(-)2,5;text(-)5)` .

Raaklijn evenwijdig met de `y` -as: `x'(t) = 5 cos(t) = 0 ^^ x'(t) = 15 cos(3t) != 0` geeft `t = 1/2 pi + k * 2pi ^^ t != 1/6 pi + k * 1/3 pi` . Dus geen punten.

`x'(t) = 5 cos(t) = 0 ^^ x'(t) = 15 cos(3t) = 0` geeft `t = 1/2 pi + k * 2pi ^^ t = 1/6 pi + k * 1/3 pi` , dus `t = 1/2 pi + k * 2pi` . De twee keerpunten zijn `(text(-)5,5)` en `(5,text(-)5)` .

In `(0,0)` is `t = k * pi` en `(text(d)y)/(text(d)x) = 3` .
De raaklijn is `y = 3x` .

`t = 4pi` .

`int_(0)^(4pi) sqrt((2,5 cos(0,5t))^2 + (15 cos(3t))^2) text(d)x ~~ 123,2`