Parameterkrommen

Opgave 12

Een punt $P$ doorloopt in het $O x y$ -vlak een kromme $k$ . De plaats van $P$ op een bepaald tijdstip $t$ wordt gegeven door:

${\begin{matrix} x (t) = 4 cos (2 t) cos (t) \\ y (t) = 4 cos (2 t) sin (t) \end{matrix}$

Hierin is $t$ in seconden en zijn de eenheden op beide assen in m.

a

Breng deze kromme in beeld. Welke waarden moet je voor $x$ , $y$ en $t$ instellen om deze kromme precies één keer geheel te laten doorlopen?

b

Op welke tijdstippen beweegt $P$ het snelst? Hoe snel?

c

Het punt $P$ gaat meerdere keren door de oorsprong. De bewegingsrichtingen in dat punt staan loodrecht op elkaar. Toon dit aan.

Opgave 13

Een punt `A` beweegt in het `Oyx` -vlak volgens de parameterkromme met `x(t) = 4 cos(2t)` en `y(t) = 4 cos(t)` .

a

Breng deze kromme in beeld op de grafische rekenmachine.

b

Deze kromme heeft precies één punt waarin de raaklijn evenwijdig is aan de `y` -as. Bereken algebraïsch de coördinaten van dit punt.

c

Bereken algebraïsch de twee keerpunten van deze kromme.

d

Bereken de lengte van deze kromme in één decimalen nauwkeurig.

Opgave 14

Bekijk de kromme `m` met parametervoorstelling `x(t) = t - 0,5 sin(2t)` en `y(t) = 2 - 2 cos(2t)` met `t` in het interval `[0,2pi]` . Je hebt al eerder gezien dat de figuur lijkt op de M van een bekende fastfoodketen.

a

Bereken de exacte keerpunten van deze kromme.

b

Bereken algebraïsch de punten van deze kromme waarin de raaklijn evenwijdig is met de `x` -as.

c

Bereken de lengte van de kromme in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 15

De kromme `k` is gegeven door `(x,y) = ( 6sin(t) + cos(2t),4 sin(t) + sin(2t) )` met `0 ≤ t ≤ 2pi` .

a

Bereken algebraïsch de punten van deze kromme waarin de raaklijn evenwijdig is met één der assen. Geef de coördinaten van die punten in één decimaal nauwkeurig.

b

Breng de kromme in beeld op de grafische rekenmachine.

c

Er is een punt dat twee keer wordt doorlopen door een bewegend punt op de kromme. Stel in dat punt de twee raaklijnen aan `k` op.

Verwerken