Parameterkrommen

Parameterkrommen > Snelheden

12345Snelheden

Voorbeeld 1

De parameterkromme in de Theorie wordt gegeven door de parametervoorstelling
$(x (t), y (t)) = (4 cos (t) + 2 cos (2 t), 4 sin (t) + 2 sin (2 t))$ .

Bereken de snelheid waarmee het punt $P$ de kromme doorloopt op $t = 1$ . Stel ook een vergelijking op van de raaklijn in $t = 1$ aan de kromme. (Benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.)

> antwoord

De snelheidsvector is: $(x^{'} (t), y^{'} (t)) = (- 4 sin (t) - 4 sin (2 t), 4 cos (t) + 4 cos (2 t))$ .
Op $t = 1$ geldt: $(x^{'} (t), y^{'} (t)) \approx (-7,003; -3,598)$ .

De snelheid op $t = 1$ is de lengte van deze vector:
$v = \sqrt{{(-7,003)}^{2} + {(-3,598)}^{2}} \approx 7,87$ .

De richtingscoëfficiënt van de raaklijn voor $t = 1$ is: $\frac{d y}{d x} = \frac{-3,598}{-7,003} \approx 0,51$ .
De raaklijn gaat door $P (x (1), y (1)) \approx (1,33; 5,18)$ .
De vergelijking van de raaklijn is daarom ongeveer: $y = 0,51 x + 4,50$ .

Opgave 5

Bekijk hoe in Voorbeeld 1 zowel de snelheid van het bewegende punt als de vergelijking van de raaklijn aan de kromme voor `t = 1` wordt opgesteld.

Doe dit zelf voor `t = 2` in twee decimalen nauwkeurig.

Opgave 6

Een kromme `k` wordt gegeven door `x(t) = 5 cos(2t)` en `y(t) = 5 sin(3t)` .

Welke waarden kunnen `x` en `y` aannemen? Breng vervolgens kromme `k` in beeld met je grafische rekenmachine.

Stel de snelheidsvector van deze kromme op. Bereken daarmee de snelheid op `t = 0` en op `t = 1/4 pi` .

Stel de vergelijkingen op van de raaklijnen aan deze kromme voor `t = 0` en op `t = 1/4 pi` .

Opgave 7

Een rechte lijn heeft als vergelijking `y = ax + b` .

Laat zien dat een mogelijke parametervoorstelling van deze rechte lijn is: `x(t) = t` en `y(t) = at + b` .

Kun je een andere parametervoorstelling van deze rechte lijn verzinnen?

Laat zien dat een rechte lijn met deze parametervoorstelling een constante snelheidsvector heeft.

Een cirkel heeft als parametervoorstelling `x(t) = a + r sin(t)` en `y = b + r cos(t)` .

Laat zien dat een cirkel niet een constante snelheidsvector, maar wel een constante snelheid heeft.

verder | terug