Parameterkrommen

Parameterkrommen > Snelheden

12345Snelheden

Voorbeeld 3

De parameterkromme in de Theorie wordt gegeven door de parametervoorstelling
$(x (t), y (t)) = (4 cos (t) + 2 cos (2 t), 4 sin (t) + 2 sin (2 t))$ .

Bereken de lengte van deze kromme in twee decimalen nauwkeurig.

> antwoord

De snelheidsvector is: $(x^{'} (t), y^{'} (t)) = (- 4 sin (t) - 4 sin (2 t), 4 cos (t) + 4 cos (2 t))$ .
De snelheid zelf is v(t) = $v (t) = \sqrt{{(x' (t))}^{2} + {(y' (t))}^{2}}$ .

Dus de lengte van de kromme is:
$L = \int_{0}^{2 π} \sqrt{{(x' (t))}^{2} + {(y' (t))}^{2}} d t = \int_{0}^{2 π} \sqrt{{(-4 \sin (t) - 4 \sin (2 t))}^{2} + {(4 \cos (t) + 4 \cos (2 t))}^{2}} d t$

Deze integraal bereken je met de grafische rekenmachine: $L = 32$ lengte-eenheden.

Opgave 10

Bekijk hoe in Voorbeeld 3 de lengte van een kromme wordt berekend.

Waarom is de lengte van een kromme gelijk aan de integraal van de snelheid? Probeer dit toe te lichten met behulp van een Riemannsom.

Waarom is het van belang in dit voorbeeld dat je weet dat de kromme geheel en precies één keer wordt doorlopen als `0 ≤ t ≤ 2pi` ? En waarom is dat zo?

Voer de berekening van de lengte van de kromme in het voorbeeld zelf uit.

Opgave 11

Een kromme `k` wordt gegeven door `x(t) = 5 cos(2t)` en `y(t) = 5 sin(3t)` .

Neem aan dat deze kromme begint op `t = 0` . Voor welke waarde van `t` heeft hij dan de gehele kromme precies één keer doorlopen?

Bereken de lengte van deze kromme.

Ga na dat de lengte van de kromme voor `1/2 pi ≤ t ≤ 2 1/2 pi` hetzelfde is.

verder | terug