Neem als venster $[-5,5]\times [-5,5]$. Denk er om dat $0\le t\le 8\pi$.

Je krijgt dan maar één omwenteling van de spiraal te zien. Dit is geen periodieke beweging.

$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{{(\mathrm{0,2}tcos(t))}^2+{(\mathrm{0,2}sin(t))}^2}=\mathrm{0,2}t$ als je gebruik maakt van ${sin}^2(t)+{cos}^2(t)=1$.

Omdat de periode van $sin(t)$ en $cos(t)$ precies $2\mathrm{\pi }$ is en dus $t$ gelijk oploopt met de draaihoek in de eenheidscirkel.

De lengte van $OP$ is $\sqrt{5}$.
De draaihoek $\theta$ is te berekenen uit $tan(\theta )=\frac{1}{2}$. Dit geeft $\theta =arctan(\frac{1}{2})\approx \mathrm{0,46}$ rad.

$P(\sqrt{5};\mathrm{0,46})\approx (\mathrm{2,24};\mathrm{0,46})$.

$Q(\sqrt{5};\mathrm{2,68})\approx (\mathrm{2,24};\mathrm{2,68})$.

Doen.

$P(\mathrm{4,33};\mathrm{2,50})$.

$x_P=5\cdot cos(\frac{1}{6}\pi )=\mathrm{2,5}\sqrt{3}$ en $y_P=5\cdot sin(\frac{1}{6}\pi )=\mathrm{2,5}$

Eigen antwoorden.

Je moet $\theta =2t$ kiezen omdat dit precies overeen komt met de afgelegde draaihoek. Kies je $\theta =t$ dan hoort bij een zekere waarde van $\theta$ een te grote waarde van $r$ omdat die dan hoort bij een te grote draaihoek.

Doen.

Vergelijk: $rcos(\theta )=\mathrm{0,1}tcos(2t)$ en $rsin(\theta )=\mathrm{0,1}tsin(2t)$.

Omdat $\theta =2t$.

Poolvoorstelling: `r = 4` .

Poolvoorstelling: `r = 4` .

Poolvoorstelling: `r = sqrt(48 cos^2(theta) + 16)` .

Poolvoorstelling: `r = 4/3 theta` .

Bekijk het voorbeeld. De polar-mode moet je eerst instellen.

Doen. Ga na dat je nu dezelfde figuur krijgt.

Als $\theta =k\cdot 2\pi$.

Je vindt achtereenvolgens $1$, ${}^{2}log(\mathrm{0,2}\pi )$, ${}^{2}log(\mathrm{0,4}\pi )$, ${}^{2}log(\mathrm{0,6}\pi )$ en ${}^{2}log(\mathrm{0,8}\pi )$.

Dan spiraalt de kromme naar $(0,0)$ met steeds kleinere bogen.

Neem venster `[text(-)4pi,4pi] xx [text(-)4pi,4pi]` .

`(0,0)` , `(2pi,0)` en `(4pi,0)` .

Nu liggen de snijpunten met de `x` -as op gelijke afstanden van elkaar en de afstand van de snijpunten met de `x` -as tot de oorsprong worden gelijkmatig groter.

Doen, zie voorbeeld.

Voor deze punten geldt `r = 4` en `sin(4theta) = +-1` . Dit geeft `theta = 1/8 pi + k * 1/2 pi vv theta = 3/8 pi + k * 1/2 pi` .
In poolcoördinaten zijn dit de punten `(4,1/8 pi)` , `(4,3/8 pi)` , `(4,5/8 pi)` , `(4,7/8 pi)` `(4,9/8 pi)` , `(4,11/8 pi)` `(4,13/8 pi)` , `(4,15/8 pi)` .

Nu moet je oplossen `sqrt(x^2 + y^2) = 4` , dus `sin(4t) = 1` . Dit geeft `t = 1/8 pi + k * 1/2 pi vv t = 3/8 pi + k * 1/2 pi` . In rechthoekige coördinaten dus `(4 cos(1/8pi), 4 sin(1/8pi))` , etc.

`int_(0)^(2pi) sqrt((16 cos(4t)cos(t) - 4 sin(4t)sin(t))^2 + (16 cos(4t)sin(t) + 4 sin(4t)cos(t))^2) text(d)t ~~ 68,6` .

Voor `t = pi` .

Poolvoorstelling: `r = 5` .

`theta = 2t` , dus bijvoorbeeld `0 ≤ theta ≤ 2pi` .

`(5,1/4pi)` en `(text(-)5, 1 1/4 pi)` .

`(2,5sqrt2;2,5sqrt2)` en `(text(-)2,5sqrt2;text(-)2,5sqrt2)`

Neem als venster `[text(-)2pi,2pi] xx [text(-)2pi,2pi]` .
`k` is een deel van een (Archimedische) spiraal.

De poolcoördinaten van deze punten zijn te berekenen uit `theta = 1/2 pi vv theta = 1 1/2 pi vv theta = 2 1/2 pi vv theta = 3 1/2 pi` . Je krijgt dan als rechthoekige coördinaten `(0, 1/4 pi)` , `(0, text(-)3/4 pi)` , `(0, 5/4 pi)` en `(0, text(-)7/4 pi)` .

`x(t) = 0,5t cos(t)` en `y(t) = 0,5t sin(t)` . Neem `0 ≤ t ≤ 4pi` .

`x'(t) = 0,5 cos(t) - 0,5t sin(t)` en `y'(t) = 0,5 sin(t) + 0,5t cos(t)` geeft met `t = 2 1/2 pi` de snelheidsvector `(text(-) 5/4 pi; 0,5)` . De snelheid is daarom `v = sqrt((text(-) 5/4 pi)^2 + (0,5)^2) ~~ 3,96` .

Neem als venster `[text(-)1,1] xx [text(-)1,1]` .
`k` is een deel van een (logaritmische) spiraal.

De poolcoördinaten van deze punten zijn te berekenen uit `theta = 1/2 pi vv theta = 1 1/2 pi` . Je krijgt dan als rechthoekige coördinaten `(0; 0,337)` en `(0; 0,038)` .

`x(t) = 0,5^t cos(t)` en `y(t) = 0,5^t sin(t)` . Neem `0 ≤ t ≤ 2pi` .

`x'(t) = 0,5^t ln(0,5) cos(t) - 0,5^t sin(t)` en `y'(t) = 0,5^t ln(0,5) sin(t) + 0,5^t cos(t)` geeft met `t = 1 1/2 pi` de snelheidsvector `(0,5^(1,5pi); text(-)0,5^(1,5pi)ln(0,5))` . De snelheid is daarom `v = sqrt((0,5^(1,5pi))^2 + (text(-)0,5^(1,5pi)ln(0,5))^2) ~~ 0,046` .

Neem venster `[text(-)5,5] xx [text(-)5,5]` .

Zeven keer, namelijk steeds als `r = 0` .

Dan is `r = 5 sin(3theta) = 5` dus `sin(3theta) = 1` en `theta = 1/6 pi vv theta = 5/6 pi vv theta = 9/6 pi` .

`(2,5;2,5sqrt3)` , `(text(-)2,5;2,5sqrt3)` en `(0;text(-)5)` .

`x(t) = 5 sin(3t)cos(t)` , `y(t) = 5 sin(3t)sin(t)` en `0 ≤ t ≤ 2pi` .

`int_(0)^(2pi) sqrt((15 cos(3t)cos(t) - 5sin(3t)sin(t))^2 + (15 cos(3t)sin(t) + 5 sin(3t)cos(t))^2) text(d)t ~~ 66,8` .

Doen, neem als venster bijvoorbeeld `[text(-)100,100] xx [text(-)100,100]` .

Het bedoelde punt is `(0,2^(1,25pi))` .
De r.c. van deze raaklijn is `(text(d)y)/(text(d)x) = (y'(1,25pi))/(x'(1,25pi)) = text(-)ln(2)` .
De vergelijking van deze raaklijn is daarom `y = text(-)ln(2) * x + 2^(1,25pi)` .

Neem `2t = theta` , dan krijg je `r = 2^(0,5theta)` met `0 ≤ theta ≤ 4pi` .

Bij `y = x` hoort `theta = 1/4 pi vv theta = 1 1/4 pi vv theta = 2 1/4 pi vv theta = 3 1/4 pi` .
Hiermee vind je (in poolcoördinaten) de punten `(1; 0,25pi)` , `(2^(0,625pi); 1,25pi)` , `(2^(0,875pi); 2,25pi)` en `(2^(1,625pi); 3,25pi)` . Die moet je omrekenen naar rechthoekige coördinaten. Je krijgt `(1/2 sqrt2 , 1/2 sqrt2)` , etc.

Doen, neem als venster bijvoorbeeld `[text(-)6,6] xx [text(-)6,6]` .

Neem `theta = t` .
Je krijgt dan `x(t) = 6 sin(t)cos(t)` en `y = 6 sin^2(t)`

Voor elk punt `(x,y)` van de kromme moet dan gelden dat de afstand tot `(0,3)` constant is. Die afstand is `sqrt(x^2 + (y - 3)^2)` .
Vul hierin de formules voor `x(t)` en `y(t)` in. Na wat gegoochel met gonioformules komt daar `3` uit.