Op $t=0$ zit het eindpunt van de grote wijzer in het punt $(0,3)$ en het eindpunt van de kleine wijzer dus in $(0,2)$. Dat komt overeen met met 0:00 uur.

$x=2sin(\frac{2\pi }{12}t)$ en $y=2cos(\frac{2\pi }{12}t)$.

Dan is $sin(2\pi t)=sin(\frac{1}{6}\pi t)\wedge cos(2\pi t)=cos(\frac{1}{6}\pi t)$. Dit is voor het eerst zo als $t=\frac{12}{11}$.

Die afstand is $\sqrt{(sin(2\pi t)-sin{(\frac{1}{6}\pi t)}^2+(cos(2\pi t)-cos{(\frac{1}{6}\pi t)}^2}$. Nu even haakjes uitwerken en je gonioformules toepassen.

$\sqrt{13-12cos(\frac{11}{6}\pi t)}=2$ oplossen geeft $cos(\frac{1}{6}\pi t)=\frac{9}{11}$ en daaruit volgt $t\approx 0,125$.

Voor `0 ≤ t ≤ 2pi` .

Symmetrie ten opzichte van de `x` -as betekent: Als `P(x,y)` een punt van de kromme is, dan is `P'(x, text(-)y)` dat ook. Nu hoort bij `P(2 cos(t), sin(2t))` een bepaalde waarde van `t` . Bij `text(-)t` hoort dan het punt `P'(2 cos(text(-)t), sin(text(-)2t)) = P'(2 cos(t), text(-)sin(2t)) = P'(x, text(-)y)` .
Symmetrie ten opzichte van de `x` -as betekent: Als `P(x,y)` een punt van de kromme is, dan is `P'(text(-)x, y)` dat ook. Nu hoort bij `P(2 cos(t), sin(2t))` een bepaalde waarde van `t` . Bij `pi - t` hoort dan het punt `P'(2 cos(pi - t), sin(pi - 2t)) = P'(text(-)2 cos(t), sin(2t)) = P'(text(-)x,y)` .

Horizontale raaklijn betekent: `y'(t) = 0 ^^ x'(t) != 0` , dus `2 cos(2t) = 0 ^^ text(-)2 sin(t) != 0` .
Dit geeft `t = 1/4 pi + k * 1/2 pi` . De bedoelde vier punten zijn `(+-sqrt2, +-1)` .
De oppervlakte van de rechthoek is daarom `2 sqrt2 * 2 = 4 sqrt2` .

Vul `x = 2 cos(t)` en `y = sin(2t)` in deze vergelijking in. Gebruik dan je gonioformules.

De lengte is `int_(0)^(2pi) sqrt((2 cos(2t))^2 + (text(-)2 sin(t))^2) text(d)t ~~ 12,2` .

Punt `P` doorloopt de gehele kromme vanaf `t = 0` tot `t = pi` .
In die tijd zit `P` op de `y` -as als `x(t) = cos(2t) = 0` , dus als `t = 1/4 pi vv t = 3/4 pi` .
Het punt zit `3/4 pi - 1/4 pi = 1/2 pi` s links van de `y` -as en dat is de helft van de tijd die het nodig heeft om de kromme één keer geheel te doorlopen.

`text(-)2sin(2t) = 0 ^^ text(-)3sin(3t) = 0` geeft `t = k * pi` .
Dit levert de punten `(1,1)` en `(1,text(-)1)` op.

`OP = sqrt((cos(2t))^2 + (cos(3t))^2)` .
Bepaal het minimum van deze functie met de GR (denk om opschrijven ingevoerde formule, venster `[0,pi] xx [0,3]` en gebruikte opties). Je vindt `0,18` .

De snelheid is `v = sqrt(4 sin^2(2t) + 9sin^2(3t))` .
Deze snelheid is het grootst (gebruik je GR in de functie-mode en voer de snelheid als Y1 in) als `t ~~ 0,56 vv t ~~ 2,58` . Dit geeft de punten `(0,4;+-0,1)` .

Neem `theta = t` en je krijgt `x(t) = 4 cos(3t)cos(t)` en `y(t) = 4 cos(3t)sin(t)` .

Gebruik de parametervoorstelling. Los op: `x'(t) = text(-)12sin(3t)cos(t) - 4cos(3t)sin(t) = 0 ^^ y'(t) = text(-)12sin(3t)sin(t) + 4cos(3t)cos(t) != 0` . De vergelijking `text(-)12sin(3t)cos(t) - 4cos(3t)sin(t) = 0` heeft als oplossing op `[0,2pi]` : `t = 0 vv t ~~ 0,750 vv t ~~ 1,570 vv t ~~ 2,392 vv t = pi vv t ~~ 3,891 vv t ~~ 4,712 vv t ~~ 5,533 vv t = 2pi` .
Dit levert drie punten op, namelijk `(4,0)` en `(text(-)1,8;+-1,7)` .

Nu kun je beter de poolvoorstelling gebruiken. Je moet dan oplossen `r = 4 sin(3theta) = 4` en dit geeft `theta = k * 2/3 pi` . De gevraagde punten worden `(4,0)` , `(text(-)2,2sqrt3)` en `(text(-)2,text(-)2sqrt3)` .

Neem venster `[text(-)1,1] xx [text(-)1,1]` . Laat `t` lopen vanaf `0` tot `2pi` .

`v = sqrt((text(-)3 cos^2(t)sin(t))^2 + (3 sin^2(t)cos(t))^2) = sqrt(9 cos^4(t)sin^2(t) + 9 sin^4(t)cos^2(t)) = sqrt(9cos^2(t)sin^2(t)(cos^2(t)+sin^2(t)))` en dit geeft `v(t) = sqrt(9/4 sin^2(2t)) = {:|:}1,5 sin(2t){:|:}` .

`v(t) = {:|:}1,5 sin(2t){:|:}` maximaal betekent `sin(2t) = +-1` en dus `t = +- 1/4 pi vv t = +- 3/4 pi` op `[0,2pi]` . Dit geeft de punten `(+- 1/4 sqrt2, +- 1/4 sqrt2)` .

De raaklijn in `P(x,y)` heeft r.c. `(text(d)y)/(text(d)x) = (3 sin^2(t)cos(t))/(text(-)3 cos^2(t)sin(t)) = text(-)tan(t)` . De vergelijking van die raaklijn is daarom `y = text(-)tan(t) * x + sin(t)` .
Dus `K(cos(t),0)` en `L(0,sin(t))` .
De lengte van `KL` is `sqrt((sin(t))^2 + (cos(t))^2) = 1` .

In dit geval moet de afstand van elk punt `P(x,y)` van `k_0` tot `M(0,1)` gelijk zijn aan `1` . Dus `sqrt(x^2 + (y - 1)^2) = 1` ofwel `(2 sin(t)cos(t))^2 + (2 sin^2(t) - 1)^2 = 1` .
Omdat `2 sin(t)cos(t) = sin(2t)` en `1 - 2 sin^2(t) = cos(2t)` kun je die uitdrukking schrijven als `(sin(t))^2 + (cos(2t))^2 = 1` en dat is waar voor elke waarde van `t` .
Dus dit is inderdaad het geval.

`k_1` heeft parametervoorstelling `(x,y) = ((1 + 2sin(t))cos(t),(1 + 2 sin(t))sin(t))` .
De snijpunten met de `y` -as volgen uit `(1 + 2 sin(t))cos(t) = 0` , ofwel `sin(t) = text(-)0,5 vv cos(t) = 0` .
Dit geeft `t = 1 1/6pi + k * 2pi vv t = 1 5/6 pi + k * 2pi vv x = 1/2 pi + k * pi` .
En daarmee vind je de punten `(0,0)` , `(0,1)` en `(0,3)` .

Voor `k_2` geldt `x'(0) = 0 ^^ y'(0) = 0` .

`y'(t) = 2cos(t)sin(t) - (a + 2sin(t))cos(t) = 0 ^^ x'(t) = 2cos(t)cos(t) + (a + 2sin(t))sin(t) != 0` geeft `text(-)a cos(t) = 0` en dus `t = 1/2 pi + k * pi` . Dit geeft de punten `(0, a + 2)` en `(0, 2 - a)` .

Laat $Q$ het punt op de $x$-as recht onder $M$ en $t$ de draaihoek tussen $MQ$ en $MP$ zijn. Dan is (teken een geschikt rechthoekig driehoekje): $y_P=MQ-cos(t)=1-cos(t)$ en $x_P=OM-sin(t)=t-sin(t)$ (want $OM=\text{boog}(QP)$).

Los op $x^{\prime }(t)=0\wedge y^{\prime }(t)=0$.

Dat zou toch $50$% moeten zijn.
Controleer of dit klopt door $1-cos(t)=0$ op te lossen.

Bepaal eerst de snelheidvector $\stackrel{⟶}{v}=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))$ en bereken daar de lengte van.
Bereken vervolgens de versnellingsvector $\stackrel{⟶}{a}=(x^{″}(t),y^{″}(t))$ en bereken daar de lengte van.

Doen, gebruik het voorgaande.

Eigen antwoord.

$4{\pi }^{2}k$ is een willekeurige constante die kan worden geschreven als $G\cdot M$ als je veronderstelt dan hij afhankelijk is van $M$. Dan is $G$ gewoon een andere constante.

Van boven gezien krijg je een eenheidscirkel. Vanuit de beide andere richtingen een sinusoïde.

Elke omwenteling van de schroeflijn is de diagonaal van de rechthoek die wordt gevormd door een uitgevouwen cilindermantel met een lengte van $2\mathrm{\pi }$ en een breedte van $\mathrm{0,2}\cdot 2\mathrm{\pi }=\mathrm{0,4}\mathrm{\pi }$.
De lengte van elk omwenteling is dus $\sqrt{{(2\pi )}^2+{(\mathrm{0,4}\pi )}^2}=\pi \sqrt{\mathrm{4,16}}$. En de afstand tussen twee punten die recht boven elkaar liggen op twee opeenvolgende omwentelingen is $\mathrm{0,4}\mathrm{\pi }$.

Die snelheid is altijd hetzelfde, namelijk $v=\sqrt{{(\mathrm{-}sin(t))}^2+{(cos(t))}^2+{\mathrm{0,2}}^2}=\sqrt{\mathrm{1,04}}$.

$(x,y,z)=(4sin(\mathrm{0,5}t),4cos(\mathrm{0,5}t),\frac{1}{\pi }t)$

Recht van boven gezien (vanuit de `z` -richting) zie je de tweedimensionale kromme: `(x(t),y(t)) = (8 sin(t),8 sin(2t))` . Dit is voor `t` op `[0,2pi]` een Lissajousfiguur in de vorm van een liggende acht. Deze kromme doorloop je in het `Oxy` -vlak.

In de `z` -richting doorloop je tegelijkertijd twee keer een sinusoïde met amplitude `8` en evenwichtsstand `z = 10` .
Is dat een achtbaan of niet...?

$x^{\prime }(t)=-15sin(15t)-2sin(t)$ en $y^{\prime }(t)=15cos(15t)+2cos(t)$.
Hieruit volgt $v=\sqrt{{(x^{\prime }(0))}^2+{(y^{\prime }(0))}^2}=17$.

Gebruik de formules van Simpson.

$x(t)=0\wedge y(t)=0$ geeft $2cos(6\frac{1}{2}t)=0$ en dus $t=\frac{1}{13}\pi +k\cdot \frac{2}{13}\pi$.
Er zijn $\mathrm{13}$ verschillende tijdstippen op $0\le t\le 2\pi$.

$y(t)=sin(2t+\frac{1}{3}\pi )=0$ geeft $t=\mathrm{-}\frac{1}{6}\pi +k\cdot \frac{1}{2}\pi$.
De gevraagde punten zijn $(\pm \frac{1}{2},0)$ en $(\pm \frac{1}{2}\sqrt{3},0)$.

$x^{\prime }(t)=cos(t)$ en $y^{\prime }(t)=2cos(2t+\frac{1}{3}\pi )$.
$v(0)=\sqrt{{(x^{\prime }(0))}^2+{(y^{\prime }(0))}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.

$AB=y(a)-y(\pi -a)=sin(2a+\frac{1}{3}\pi )-sin(2\frac{1}{3}\pi -2a)$.
Dit kun je herleiden tot $AB=2sin(2a-\pi )cos(1\frac{1}{3}\pi )=-2sin(2a)\cdot \mathrm{-}\frac{1}{2}=sin(2a)$.

$cos(\frac{\pi }{15}t)=cos(\frac{4\pi }{15}t)$ geeft op $[0,15]$ de oplossing $t=0\vee t=6\vee t=10\vee t=12$.
$P$ zit onder de lijn $y=x$ als $t$ tussen $0$ en $6$ of tussen $10$ en $12$ inligt. Dat is in totaal $8$ seconden.

$x(t)=cos(\frac{\pi }{15}t)=0$ geeft bijvoorbeeld $t=\mathrm{7,5}$.
Het gaat nu alleen om de snelheid in de $x$-richting en die is op dat moment $v=x^{\prime }(\mathrm{7,5})=\mathrm{-}\frac{\pi }{15}sin(\frac{\pi }{15}\cdot \mathrm{7,5})=\mathrm{-}\frac{\pi }{15}$ m/s.