Parameterkrommen

Opgave 10Een beweging door (0,0)

Een beweging door (0,0)

De beweging van een punt in het $O x y$ -vlak wordt voor $0 \leq t \leq 2 π$ gegeven door:

${\begin{matrix} x (t) = cos (15 t) + cos (2 t) \\ y (t) = sin (15 t) + sin (2 t) \end{matrix}$

In de figuur is de baan van het punt getekend.

a

Bereken de exacte snelheid van het punt op tijdstip $t = 0$ .

De bewegingsvergelijkingen kunnen herleid worden tot:

${\begin{matrix} x (t) = r (t) \cdot cos (8 \frac{1}{2} t) \\ y (t) = r (t) \cdot sin (8 \frac{1}{2} t) \end{matrix}$

met $r (t) = 2 cos (6 \frac{1}{2} t)$ .

b

Toon dit aan.

Bij het doorlopen van zijn baan passeert het punt een aantal keren $(0, 0)$ .

c

Bereken dit aantal langs algebraïsche weg.

(bron: examen wiskunde B vwo 2002, eerste tijdvak)

Opgave 11Lissajouskromme

Lissajouskromme

De baan van een punt $P$ wordt bepaald door de volgende bewegingsvergelijkingen:

${\begin{matrix} x (t) = sin (t) \\ y (t) = sin (2 t + \frac{1}{3} π) \end{matrix}$

Je ziet de kromme die de baan van $P$ voorstelt hiernaast.

a

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de $x$ -as.

$P$ passeert de $y$ -as steeds met dezelfde snelheid.

b

Bereken de exacte waarde van deze snelheid.

Op het tijdstip $t = a$ bevindt het punt $P$ zich in $A$ en op het tijdstip $t = π - a$ in $B$ , met $0 < a < \frac{1}{2} π$ . $A$ en $B$ liggen op een verticale lijn. Zie figuur.

c

Bewijs dat de lengte van $A B$ gelijk is aan $sin (2 a)$ .

(bron: examen wiskunde B vwo 2003, tweede tijdvak)

Opgave 12Een W

Een W

Een punt $P$ beweegt in het $O x y$ -vlak volgens de vergelijkingen:

${\begin{matrix} x (t) = cos (\frac{π}{15} t) \\ y (t) = cos (\frac{4 π}{15} t) \end{matrix}$

Hierbij zijn $x$ en $y$ in meters, $t$ in seconden en $t \geq 0$ .
De baan die $P$ doorloopt heeft de vorm van een W. Op tijdstip $t = 0$ start $P$ in punt $A (1, 1)$ en op tijdstip $t = 15$ bevindt $P$ zich voor het eerst in punt $B (-1, 1)$ .

In de figuur zijn de baan die $P$ doorloopt, de punten $A$ en $B$ en de lijn met vergelijking $y = x$ getekend. Gedurende het tijdsinterval $[0, 15]$ bevindt $P$ zich een aantal seconden onder de lijn met vergelijking $y = x$ .

a

Bereken dit aantal seconden.

Op zeker moment tijdens de beweging van $A$ naar $B$ passeert $P$ de $y$ -as. Daarbij neemt de $x$ -coördinaat van $P$ af.

b

Bereken exact de snelheid van de $x$ -coördinaat van $P$ op dat moment.

(bron: examen wiskunde B vwo 2012, eerste tijdvak)

Examenopgaven