Parameterkrommen > TotaalbeeldTesten
De eindpunten van de wijzers van een klok beschrijven een eenparige cirkelbeweging. Kies een assenstelsel met de oorsprong in het draaipunt van de wijzers, de positieve -as door "3 uur" en de positieve -as door "12 uur" . De tijd verstrijkt in uren, vanaf 0:00 uur. De grote wijzer is dm lang en de kleine (minuten)wijzer is dm lang. De beweging van het eindpunt van de grote wijzer wordt beschreven door en . Op het tijdstip liggen de wijzers van de klok over elkaar heen.
Laat zien dat inderdaad overeen komt met 0:00 uur.
Stel de bewegingsvergelijkingen van het eindpunt van de kleine wijzer op.
Bereken het eerste tijdstip na waarop beide wijzers weer over elkaar heen liggen.
Toon aan dat op tijdstip de afstand tussen de eindpunten van beide wijzers gelijk is aan .
Bereken het tijdstip waarop deze afstand voor het eerst na gelijk is aan de lengte van de kleine wijzer.
Gegeven is ten op zichte van een rechthoekig assenstelsel `Oxy` de kromme `k` door `(x,y) = (2 cos(t), sin(2t))` .
Voor welke waarden van `t` wordt deze kromme in zijn geheel precies één keer doorlopen.
De kromme is symmetrisch ten opzichte van de `x` -as en de `y` -as. Bewijs dit.
De kromme `k` heeft vier punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. Deze vier punten zijn de hoekpunten van een rechthoek.
Bereken de oppervlakte van deze rechthoek.
De coördinaten van elk punt `P(x,y)` van `k` voldoen aan de vergelijking `4y^2 = x^2(4 - x^2)` . Toon dit aan.
Bereken in één decimaal nauwkeurig de lengte van de kromme.
De plaats van een bewegend punt `P(x,y)` in een assenstelsel wordt gegeven door `x(t) = cos(2t)` en `y(t) = cos(3t)` , waarbij `t` de tijd voorstelt. De beweging begint op `t = 0` .
Toon aan dat `P` zich even lang links als rechts van de `y` -as bevindt.
De baan van punt `P` heeft twee keerpunten.
Bereken deze keerpunten algebraïsch.
Tijdens de beweging verandert de afstand van het punt `P` op de baan tot het punt `O(0, 0)` .
Bereken de minimale waarde van de afstand `OP` in twee decimalen nauwkeurig.
Tijdens de beweging verandert de snelheid van het punt `P` .
In welke punten is die snelheid het grootst? Geef benaderingen in één decimaal nauwkeurig.
In poolcoördinaten `P(r,theta)` is de beweging van punt `P` beschreven door `r = 4 cos(3theta)` .
Stel een bijpassende parametervoorstelling voor deze kromme op.
Er zijn drie punten op de grafiek waarin de raaklijn evenwijdig loopt met de `y` -as.
Bereken de coördinaten van deze punten in één decimaal nauwkeurig.
Er zijn drie punten op de grafiek die `4` eenheden van de oosprong af liggen.
Bereken de exacte coördinaten van deze punten.
Punt `P(x,y)` beweegt in het `Oxy` -vlak. Er geldt: `x(t) = cos^3(t) ^^ y(t) = sin^3(t)` .
Bekijk de baan die `P` doorloopt met je grafische rekenmachine. Welke waarden moet je voor `t` nemen om de hele baan van dit punt in beeld te krijgen?
Toon aan dat voor de snelheid geldt `v(t) = {:|:}1,5 sin(2t){:|:}` .
In welke punten beweegt `P` het snelst?
De baan die `P` doorloopt heet een astroïde. Daarvan snijdt de raaklijn in `P` de assen in de punten `K` en `L` en is de lengte van `KL` voor elke positie van `P` even lang.
Bewijs dat dit klopt.
Gegeven zijn de krommen `k_a` met parametervoorstelling
Hierin is `a ≥ 0` .
Voor `a = 0` lijkt deze kromme een cirkel te zijn met middelpunt `M(0,1)` en straal `1` . Onderzoek of dit inderdaad het geval is.
Laat door berekening zien dat `k_1` drie snijpunten met de `y` -as heeft.
Als `a = 1` heeft `k_a` vier punten waarin de raaklijn horizontaal is. Voor `a = 2` zijn dat er nog drie omdat dan `O(0,0)` een keerpunt van de kromme is.
Toon aan dat `k_2` inderdaad `O(0,0)` als keerpunt heeft.
Toon aan dat voor `a > 2` de kromme `k_a` twee punten heeft met een horizontale raaklijn.