Zie
Probeer wel eerst om zelf het bewijs te formuleren.
Gaat op dezelfde manier, neem stomphoekig.
Z-hoeken zijn hoeken die een lijn maakt met twee evenwijdige lijnen en en tussen de twee evenwijdige lijnen zitten aan weerskanten van , de éne hoek bij het snijpunt met , de andere bij het snijpunt met . Alleen als de lijnen evenwijdig zijn, zijn de Z-hoeken gelijk.
Neem op de aardbol punt (de noordpool) en de punten en op de evenaar. De "lijnen" en over het aardoppervlak staan loodrecht op de evenaar. Dus is . Dan moet zijn.
Zie bijvoorbeeld het bewijs van de stelling van Pythagoras bij het artikel over Pythagoras.
Noem het lijnstuk . Teken een halve lijn uit . Pas op lijn vanuit vier gelijke stukken af, je krijgt dan achtereenvolgens , , en . Verbindt het eindpunt met . Construeer door de punten , en lijnen evenwijdig aan . De evenwijdige lijnen snijden . De snijpunten verdelen van het lijnstuk in vier gelijke delen.
Construeer een vierkant en teken een van de diagonalen.
Construeer een gelijkzijdige driehoek en teken de loodlijn uit een van de punten op de overstaande zijde.
Teken een lijn en pas hierop met de passer de zijde af. Teken een cirkel met middelpunt en straal en een cirkel met middelpunt en straal . Als beide cirkels elkaar snijden is dat van de driehoek, er zijn twee mogelijkheden. Beide cirkels snijden elkaar alleen als . Anders bestaat er geen driehoek .
Axioma 5 over gelijke F-hoeken en Z-hoeken bij evenwijdige lijnen.
Zie figuur.
Je ziet dat (Z-hoeken) en (F-hoeken).
En dus is . Waarmee de stelling bewezen is.
Als elk van de benen van een hoek loodrecht staan op de benen van een andere hoek, zijn de hoeken gelijk.
Bekijk de applet in
Als een uitspraak in één geval niet klopt is hij onwaar.
Als elk van de benen van een hoek loodrecht staan op de benen van een andere hoek,
zijn de hoeken gelijk of ze zijn samen .
Het bewijs van deze stelling kun je leveren als je wat meer weet over gelijkvormigheid
van driehoeken, daarover gaan de volgende onderdelen...
Zolang er geen bewijs voor een uitspraak is geleverd heet die uitspraak een vermoeden. Een stelling is een vermoeden waarvan het bewijs is geleverd.
Omdat hij geen axioma is (geen uitgangspunt bij de theorieopbouw). En in elke goede theorie moet elk nieuw vermoeden worden bewezen, dus kunnen worden afgeleid uit de axioma's.
Een voorbeeld waarmee je aantoont dat een bepaald uitspraak onwaar is.
Als de punten en samenvallen is recht en dat is in tegenspraak met het gegeven dat hij stomp is.
Als punt tussen en ligt of met samen valt of op het verlengde van ligt heeft zowel een stompe als een rechte hoek en dat is in tegenspraak met de stelling dat
de som van de hoeken in een driehoek 180° is.
Punt ligt op het verlengde van is de enige mogelijkheid die overblijft en die moet dus waar zijn.
De hoek tussen en is en de hoek tussen en ook. Dit zijn twee F-hoeken. Dus de lijnen en zijn evenwijdig.
Als lijn evenwijdig is met , staat lijn ook loodrecht op . De omgekeerde stelling is ook juist.
Eigen antwoord.
Uit axioma 2 volgt dat als dit niet waar is, en elkaar snijden in een punt .
En dan zouden er twee lijnen door gaan die elk evenwijdig zijn met .
En dat is volgens axioma 3 onmogelijk.
De uitspraak is daarom algemeen waar, het is een stelling.
De uitspraak is waar. Hij volgt onmiddellijk uit de bekende stelling van Pythagoras.
(Eigenlijk moet je die stelling nog vanuit de axioma's afleiden, het bewijs dat je
in
Nee, die uitspraak is niet waar.
Tegenover de langste zijde van een driehoek ligt de grootste hoek.
Door twee punten gaat maar één lijn.
Twee lijnstukken zijn evenwijdig als de lijnen waarop de lijnstukken liggen evenwijdig zijn.
Omdat ° geldt °. Omdat ook °, is dus .
Op dezelfde manier bewijs je de andere stelling.
Het zijn Z-hoeken.
Omdat is °. Omdat ook ° is de som van de hoeken van de rechthoekige .
In is °.
In is °.
Dus is °. En omdat ° is ook °.
Neem hoogtelijn met op het verlengde van en bekijk de rechthoekige driehoeken en .
In is °.
In is °.
Dus is °. Nu is en .
Dit geeft: °.
Gegeven:
is een stompe hoek in .
Te bewijzen:
en zijn scherp.
Bewijs:
Neem aan dat niet scherp is, dan is de som meer dan . Neem aan dat niet scherp is, dan is de som meer dan .
Dit leidt in beide gevallen tot een tegenspraak, dus en zijn beide scherp.
Een koorde (waar het middelpunt niet op ligt) is korter dan de middellijn van de cirkel.
Gegeven:
is koorde en is middellijn.
Te bewijzen:
.
Bewijs:
geeft en . Omdat °, is °.
Dit betekent dat rechthoekig is en van een rechthoekige driehoek zijn de rechthoekszijden korter dan
de schuine zijde.
Het speciale geval is de situatie dat op de koorde ligt. In dat geval zijn koorde en middellijn even lang.