Redeneren en bewijzen

Redeneren en bewijzen > Basisbegrippen

Overzicht

123456Basisbegrippen

Voorbeeld 1

Stelling

"De som van de hoeken van een driehoek is $180 °$ ."

Lever het bewijs van deze stelling.

> antwoord

Bekijk de applet.

Bewijs

Trek door (bijvoorbeeld) $C$ een lijn evenwijdig aan lijnstuk $A B$ . (Dit kan volgens axioma 3)
Je ziet nu bij punt $C$ twee nieuwe hoeken ontstaan waarvan er één gelijk is aan $∠ A$ en één gelijk is aan $∠ B$ . (Volgens axioma 5)
Samen met $∠ A$ vormen deze hoeken een gestrekte hoek. (Volgens definitie gestrekte hoek)

Opgave 6

Bekijk in Voorbeeld 1 het bewijs dat de hoeken van een driehoek samen $180 °$ zijn.

Welke van de vijf axioma's van Euclides speelt in dit bewijs een grote rol?

Teken zelf de figuur bij dit bewijs en verleng zijde $A C$ aan de kant van $C$ .

Bij punt $C$ tref je nu drie hoeken aan. Eén daarvan zit in de driehoek $A B C$ en heet daarom een binnenhoek van deze driehoek. De twee andere vormen samen een buitenhoek van $Δ A B C$ . $∠ A$ en $∠ B$ zijn ook binnenhoeken van de driehoek. Het zijn de niet-aanliggende binnenhoeken van de buitenhoek van $∠ C$ .

Bewijs nu zelf de stelling: In een driehoek is elke buitenhoek gelijk aan de som van de niet-aanliggende binnenhoeken.

verder | terug