Redeneren en bewijzen

Redeneren en bewijzen > Basisbegrippen

123456Basisbegrippen

Uitleg

Bekijk de applet.

Het bewijs dat de som van de hoeken van een driehoek $180 °$ is, wordt vaak als volgt geleverd:

Trek door $C$ een lijn evenwijdig aan $A B$ .
Bij $C$ vind je dan drie hoeken die samen een gestrekte hoek vormen: een hoek die (Z-hoeken) gelijk is aan $∠ A$ , $∠ C$ en een hoek die (Z-hoeken) gelijk is aan $∠ B$ .
Een gestrekte hoek is $180 °$ dus de hoeken $A$ , $B$ en $C$ zijn samen $180 °$ .

Maar dit "bewijs" rammelt nogal. Wat zijn Z-hoeken? Waarom/wanneer zijn die gelijk? En hoe zit het met een gestrekte hoek? Er worden begrippen gebruikt die kennelijk al eerder zijn aangeleerd. En zijn die dan op hun beurt ook goed vastgelegd en zijn hun eigenschappen eerst bewezen?
Voor een goed bewijs moet dat in ieder geval zeker zijn.
Voor een goed bewijs heb je dus nodig:

goede afspraken over de betekenis van alle begrippen: goede definities;
een aantal goed omschreven uitgangspunten: goede axioma's;
goede logische redeneerregels die iedereen hanteert.

Opgave 2

Bekijk de Uitleg . Je ziet er een redenering waaruit blijkt dat de som van de hoeken van een driehoek $180 °$ is.

Laat zien dat deze redenering ook geldt als punt $C$ veel verder naar rechts ligt.

Wat zijn Z-hoeken precies? Waarom is de evenwijdigheid van de lijn door $C$ met $A B$ belangrijk?

Toen in West-Europa landen ontstonden met eigen regeringen en ambtenaren, werd het bepalen van de grootte van het grondgebied belangrijk. Landmeters gebruikten daarbij driehoeksmeting. Ze werken dan met driehoeken. En ook zij namen aan dat de som van de hoeken van een driehoek $180 °$ is.

Kun je laten zien dat dit voor driehoeken op het aardoppervlak niet waar kan zijn? Waarom ontdekten de landmeters dat niet meteen?

Opgave 3

Je kent natuurlijk de stelling van Pythagoras wel. Zoek een bewijs van die stelling op, bijvoorbeeld via internet.
Probeer dat bewijs zo te formuleren dat je het zelf goed begrijpt. Schrijf een aantal aannames op die in dit bewijs worden gedaan.

Opgave 4

In de Oudheid werden voor constructies alleen liniaal en passer gebruikt.
Je krijgt een potlood, een (grote) passer, een liniaal en een vel A4. Bijna aan de bovenrand van het papier is een lijnstuk getekend, bijna even lang als de bovenrand. De passerpunt mag niet buiten het papier worden gezet.

Hoe kun je dat lijnstuk in vier gelijke delen verdelen?

Hoe kun je, ergens op het papier, een hoek van $45 °$ maken?

Hoe kun je, ergens op het papier, een hoek van $60 °$ maken? En een van $30 °$ ?

Opgave 5

Je krijgt een potlood, een (grote) passer, een liniaal zonder maatverdeling en een vel papier waarop drie lijnstukken zijn getekend.
Hoe kun je een driehoek tekenen met de drie lijnstukken als zijden? Lukt dat altijd? Wanneer wel en wanneer niet? Als het wel lukt, kun je dan maar één driehoek tekenen of zijn er meer oplossingen mogelijk?

verder | terug