Redeneren en bewijzen

Redeneren en bewijzen > Congruentie

Overzicht

123456Congruentie

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Gebruik geodriehoek en passer.

Nee, bedenk welke beperkingen er zijn.

Nu heb je alleen je geodriehoek nodig.

HHZ, HZH en ZZR.

Er zijn dan twee echt verschillende driehoeken mogelijk.

Opgave 2

Als twee hoeken gelijk zijn dan is de derde hoek automatisch gelijk. Er zijn dan maar twee gegevens bekend van de driehoek, de lengtes van de zijden kunnen nog variëren.

Bij ZZH heb je nog twee mogelijkheden: een scherphoekige driehoek of een stomphoekige. Teken $A B = 5$ en $∠ B = 45$ °. Teken nu de cirkel met middelpunt $A$ en straal $A C = 4$ . Deze cirkel snijdt het tweede been van $∠ B$ twee keer. Er zijn dus twee punten $C$ mogelijk.

Opgave 3

Neem bijvoorbeeld $A B = 5$ cm en $∠ A = 40$ ° en $∠ B = 60$ °. Deze hoeken hebben behalve $A B$ nog een ander been. Die andere benen snijden elkaar in $C$ en zo krijg je $Δ A B C$ . Voorwaarde is wel dat $∠ A + ∠ B < 180$ °.

Opgave 4

Omdat het niet een gegeven is en anders de oppervlakte ervan geen ${(a + b)}^{2}$ is.

Uit ${(a + b)}^{2} = 4 \cdot \frac{1}{2} a b + c^{2}$ volgt door haakjes uitwerken: $a^{2} + 2 a b + b^{2} = 2 a b = c^{2}$ en dus $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Opgave 5

ZZZ, je weet immers nog niet of $∠ A C B$ recht is, dus van gelijke hoeken mag je geen gebruik maken.

Ga na dat $16^{2} + 30^{2} = 34^{2}$ . Dus geldt in de gegeven driehoek de SvP en daarom is hij rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Opgave 6

Uit $| A B | = | B A |$ , $| A C | = | B C |$ en $| B C | = | A C |$ volgt dat $Δ A B C$ congruent is met $Δ B A C$ (ZZZ).
En dus is $∠ A = ∠ B$ .

Opgave 7

Gegeven:
Een gelijkbenige rechthoekige driehoek $A B C$ met $∠ C = 90$ ° en $A C = B C$ .

Te bewijzen:
$∠ A = 45$ ° en $∠ B = 90$ °

Bewijs:
Omdat $Δ A B C$ gelijkbenig is zijn de hoeken tegenover de gelijke benen even groot, dus $∠ A = ∠ B$ (gelijkbenige driehoek).
Omdat de hoeken van een driehoek samen $180 °$ zijn (hoekensom driehoek) en $∠ C = 90$ ° is $∠ A + ∠ B = 90$ °, zodat ze elk $45 °$ zijn.

(Opmerking: Dit bewijs is nogal overbodig omdat de stelling zelf al in de lijst van gegeven stellingen en definities voorkomt. Maar het is wel een goede oefening. Bovendien zie je zo dat veel van de stellingen die in die lijst voorkomen weer uit andere stellingen van diezelfde lijst zijn af te leiden. Het maakt duidelijk dat de lijst maar een vrij willekeurige greep is uit het geheel aan bewezen stellingen in de vlakke meetkunde.)

Opgave 8

Gegeven:
$Δ A B C$ met $∠ A = ∠ B$ .

Te bewijzen:
$| A C | = | B C |$ .

Bewijs:
Teken de loodlijn $C D$ vanuit $C$ op $A B$ . Omdat $∠ A = ∠ B$ en $∠ D_{1} = ∠ D_{2} = 90$ ° en $| C D | = | C D |$ zijn de driehoeken $A D C$ en $B D C$ congruent (ZHH). En daaruit volgt $| A C | = | B C |$ .

Opgave 9

Stel dat dit niet zo zou zijn en dat $P Q$ de kortste verbindingslijn van $P$ met een punt $Q$ op $l$ is. Er is dan een driehoek $P P' Q$ te tekenen waarin $P P' ⊥ l$ . In die driehoek is $P Q^{2} = P P'^{2} + P' Q^{2}$ (Pythagoras) en dus $| P Q | > | P P' |$ . Dat is in tegenspraak met het feit dat $| P Q |$ de korste verbindingslijn van $P$ met een punt op $l$ zou zijn.

Opgave 10

Zie figuur.

Omdat $∠ B A D = ∠ A B D$ is $Δ A B D$ gelijkbenig.

Vanweg de driehoeksongelijkheid is $| A C | < | A D | + | D C | = | B D | + | D C | = | B C |$ .

Opgave 11

$| A B | = | B A |$ , $| A D | = | B C |$ en $∠ A = ∠ B = 90$ ° zijn de driehoeken $A B D$ en $A B C$ congruent (ZHZ).

$A B C D$ is een ruit die tevens rechthoek is (vierkant). In de ruit delen de diagonalen de hoeken middendoor (ruit).
Dus zijn van $Δ A B S$ de hoeken op $A B$ beide $45 °$ . Voor $Δ C D S$ zijn op dezelfde manier de twee hoeken op $C D$ beide $45 °$ .
Omdat ook $| A B | = | C D |$ zijn $Δ A B S$ en $Δ C D S$ congruent (HZH).

Omdat $Δ A B S$ en $Δ C D S$ congruent zijn is $| A S | = | C S |$ en $| B S | = | D S |$ .

Opgave 12

De lengte van de derde zijde moet inliggen tussen $3$ en $13$ cm.

De som van de lengtes van de ander twee zijden moet meer dan $1$ m zijn. Het verschil is kleiner dan $1$ m.

Opgave 13

Teken $B'$ zo, dat $B B'$ loodrecht $l$ en $| B S | = | S B' |$ als $S$ het snijpunt van $B B'$ met $l$ is.

Vanwege de driehoeksongelijkheid is de rechte lijn $A B'$ de korste verbinding tussen $A$ en $B'$ .
Vanwege de congruentie van de driehoeken $B S P$ en $B' S P$ (ZHZ) is $| A P | + | P B | = | A P | + | P B' |$ dus ook de kortste verbinding van $A$ naar $B$ via $l$ .

Opgave 14

Gegeven:
Vierhoek $A B C D$ , het snijpunt van de diagonalen is $S$ .

Te bewijzen:
$| A B | + | B C | + | C D | + | D A | > | A C | + | B D |$ .

Bewijs:
$| A B | + | B C | > | A C |$ en $| A D | + | D C | > | A C |$ . Optellen geeft: $| A B | + | B C | + | A D | + | D C | > 2 \cdot | A C |$ (1).
$| A D | + | A B | > | B D |$ en $| B C | + | C D | > | B D |$ . Optellen geeft: $| A B | + | A D | + | B C | + | D C | > 2 \cdot | B D |$ (2).
(1)en (2) optellen geeft: $2 \cdot (| A B | + | B C | + | A D | + | D C |) > 2 \cdot (| A C | + | B D |)$ .
Dus $| A B | + | B C | + | C D | + | D A | > | A C | + | B D |$ .

Opgave 15

Gegeven:
$P$ ligt op $l$ . $P Q$ is de loodlijn vanuit $P$ op $m$ .

Te bewijzen:
$Q P$ is de loodlijn vanuit $Q$ op $l$ .

Bewijs:
De lijnen $l$ en $m$ zijn evenwijdige lijnen gesneden door $P Q$ . F-hoeken zijn gelijk, dus $∠ Q = 90$ ° betekent dat ook $∠ P = 90$ °.

Bewijs: $P Q$ en $P' Q$ zijn beide loodrecht op $m$ . Dus $P Q$ evenwijdig met $P ’ Q ’$ . Omdat $∠ P = 90$ ° is $∠ P' = 90$ ° en dus is $P ℚ ’ P ’$ een rechthoek, zodat $| P Q | = | P ’ Q ’ |$ .

Geldt voor alle punten $P$ en $Q$ op twee evenwijdige lijnen.

Ja. Bewijs: Neem punt $R$ ongelijk aan $Q$ op $m$ . Neem aan dat $| P R | < | P Q |$ . Dan is $Δ P Q R$ een rechthoekige driehoek. Hierin geldt: ${| P Q |}^{2} + {| Q R |}^{2} = {| P R |}^{2}$ zodat $| P R | > | P Q |$ . Dit is in tegenspraak met het gestelde.

Opgave 16

Gegeven:
$Δ A B C$ met $| B C | > | A C |$ .

Te bewijzen:
$∠ A > ∠ B$ .

Bewijs:
Neem aan dat $∠ A < ∠ B$ , dan kies je $D$ op $A C$ zodat $∠ D A B = ∠ D B A$ . Dan is $| C B | < | D C | + | D B | = | D C | + | D A | = | A C |$ . Tegenspraak. Het gestelde is niet waar en het bewijs is geleverd.

Opgave 17

Zie figuur.

Gegeven:
$Δ A B C$ met $| A C | = | B C |$ en $D$ is het midden van $A C$ , $E$ is het midden van $B C$ . $D F$ en $E G$ zijn loodlijnen op $A B$ .

Te bewijzen:
$| D F | = | E G |$ .

Bewijs:
Omdat $| A C | = | B C |$ is $∠ A = ∠ B$ (gelijkbenige driehoek). Verder is $| A D | = \frac{1}{2} \cdot | A C | = \frac{1}{2} \cdot | B C | = | B E |$ . En tenslotte is $∠ F = ∠ G = 90$ °. Dus is $Δ A F D ≅ Δ G B E$ (het teken $≅$ betekent congruent, je gebruikt ZHH). En daarom is $| D F | = | E G |$ .

Opgave 18

Trek bijvoorbeeld diagonaal $A C$ . Je hebt dan twee driehoeken waarvan de hoekensom $180 °$ is: $∠ A_{1} + ∠ B + ∠ C_{1} = 180$ ° en $∠ A_{2} + ∠ D + ∠ C_{2} = 180$ °. En dus is $∠ A_{1} + ∠ B + ∠ C_{1} + ∠ A_{2} + ∠ D + ∠ C_{2} = ∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D = 360$ °.

Volgt uit de congruentie (ZZZ) van de driehoeken $A B C$ en $C D A$ .

Uit de congruentie van de driehoeken $A B C$ en $C D A$ volgt dat $A B$ evenwijdig is met $C D$ (Z-hoeken).

Volgt uit de congruentie (ZHZ) van de driehoeken $A B C$ en $D C B$ .

Volgt uit de evenwijdigheid van $A B$ en $C D$ .

Volgt uit de congruentie (HZH) van de driehoeken $A B S$ en $D C S$ .

Opgave 19

$Δ A B C$ is rechthoekig, dus $∠ A C B + ∠ C B A = 90$ °, of $∠ A C B = 90 ° - ∠ C B A$ .

$∠ C A D = 90 ° - ∠ B A D = 90 ° - ∠ C B A = ∠ A C B$ .

Uit de gelijkbenigheid van $Δ A B D$ volgt $| B D | = | A D |$ .
Uit de gelijkbenigheid van $Δ A D C$ volgt $| C D | = | A D |$ .
Dus $| A D | = | B D | = | C D |$ .

verder | terug