Redeneren en bewijzen

Redeneren en bewijzen > Congruentie

123456Congruentie

Voorbeeld 4

$∆ A B C$ is gelijkzijdig want heeft drie gelijke zijden.
Bewijs nu dat hij drie gelijke hoeken van $60 °$ heeft.

> antwoord

In het bewijs wordt gebruik gemaakt van voorgaande stellingen.
Bijvoorbeeld dat de som van de hoeken van een driehoek $180 °$ is.
En van de stelling dat in een gelijkbenige driehoek de hoeken tegenover de even lange zijden even groot zijn. Nu merk je hoe handig een goed systeem van verwijzen naar al eerder bewezen stellingen en de axioma's is. Daarvoor ga je straks de lijst van definities en stellingen gebruiken.

Omdat $| A B | = | A C |$ is $∠ A B C = ∠ A C B$ .
Omdat $| A B | = | B C |$ is $∠ B A C = ∠ A C B$ .
Dus zijn alle drie de hoeken van de driehoek gelijk.
En dus zijn ze elk $180 ° / 3 = 60 °$ .

Opgave 7

In Voorbeeld 4 zie je hoe je kunt bewijzen dat de hoeken van een gelijkzijdige driehoek allemaal gelijk zijn aan $60 °$ . Je gebruikt er eerder bewezen stellingen bij.

Bewijs nu zelf: "Elke gelijkbenige rechthoekige driehoek heeft twee hoeken van $45 °$ ."
Gebruik hierbij alleen stellingen die horen bij de lijst van definities en stellingen die je voor het vwo-examen wiskunde B moet kennen.

Opgave 8

Bewijs met behulp van congruentie de stelling: "Als in een driehoek twee hoeken gelijk zijn, dan is die driehoek gelijkbenig."

Opgave 9

De afstand van een punt $P$ tot een lijn $l$ is de lengte van het kortste verbindingslijnstuk van $P$ en een punt $Q$ op die lijn $l$ .

Bewijs met behulp van de stelling van Pythagoras dat dit kortste verbindingslijnstuk $P Q$ een rechte hoek met lijn $l$ maakt.

Opgave 10

Gegeven is $Δ A B C$ met $∠ A > ∠ B$ . Je wilt bewijzen dat tegenover de grootste hoek ook de langste zijde zit, dus $| B C | > | A C |$ .

Teken een geschikte figuur. Teken op $B C$ een punt $D$ , zo, dat $∠ B A D = ∠ A B D$ .

Waarom is $| A D | = | B D |$ ?

Pas de driehoeksongelijkheid toe in $Δ A D C$ en toon hiermee aan dat $| B C | > | A C |$ .

verder | terug