Redeneren en bewijzen

Redeneren en bewijzen > Bewijzen

Overzicht

123456Bewijzen

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Probeer er zelf uit te komen. In Voorbeeld 1 en Voorbeeld 2 vind je twee uitgewerkte bewijzen voor deze stelling.

Opgave 2

Zie Voorbeeld 1.

Opgave 3

De stelling zelf is meestal zeer algemeen geformuleerd. Bij "Gegeven" vertaal je de stelling naar een concrete figuur en beschrijf je de zaken die je voor waar aanneemt in termen van die figuur. Bij "Te bewijzen" beschrijf je wat je moet bewijzen in termen van je figuur.

Het zelf formuleren van de stelling passend bij een eigen figuur helpt bij het bedenken van de manier van bewijzen. Je leert zo ook goed uit elkaar te houden wat is gegeven en wat je precies moet bewijzen.

Opgave 4

Er zitten verwijzingen in naar de lijst met definities en stellingen. Die verwijzingen bestaan uit trefwoorden of afkortingen tussen haakjes. Welke stelling bij zo'n trefwoord of afkorting hoort moet je goed uit het hoofd leren!

Doen.

Opgave 5

Ook hier zitten verwijzingen in naar de lijst met definities en stellingen. Die verwijzingen bestaan uit trefwoorden of afkortingen tussen haakjes. Welke stelling bij zo'n trefwoord of afkorting hoort moet je goed uit het hoofd leren!

Doen.

Opgave 6

Doen.

Bijvoorbeeld: "Het middelpunt van de cirkel door de drie hoekpunten van een scherphoekige driehoek ligt binnen die driehoek.", of "Het middelpunt van de cirkel door de drie hoekpunten van een rechthoekige driehoek ligt op de langste zijde van die driehoek."
Lever zelf de bewijzen.

Opgave 7

Doen.

Opgave 8

$B F$ en $D E$ .

Bijvoorbeeld de driehoeken $A E D$ en $B C F$ moet je dan congruent praten.

$A B C D$ is een rechthoek en dus een parallellogram (stelling rechthoek). $A C = B D$ (stelling parallellogram).
$∠ D A E = ∠ F C B$ (stelling Z-hoeken).
$∠ A E D = ∠ B F C = 90$ °.
Dus is $Δ A E D ≅ Δ B C F$ (ZHH). En daaruit volgt $A E = B F$ .

Opgave 9

Gegeven:
Zie figuur bij opgave.

Te bewijzen:
$A S = B S$ .

Bewijs:
$C S = D S$ en $∠ C = ∠ D$ (gegeven) en $∠ A S C = ∠ B S D$ (stelling overstaande hoeken). Dus is $Δ A S C ≅ Δ B S D$ (HZH). En daarom is $A S = B S$ . Q.e.d.

Opgave 10

Gegeven:
Bekijk de figuur hiernaast.

Te bewijzen:
$A C$ is evenwijdig met $B D$ .

Bewijs:
$C S = S D$ en $A S = S B$ (gegeven) en $∠ A S C = ∠ B S D$ (stelling overstaande hoeken). Dus is $Δ A S C ≅ Δ B S D$ (ZHZ). En daarom is $∠ A C S = ∠ S D B$ en zijn $A C$ en $B D$ evenwijdig (stelling Z-hoeken). Q.e.d.

Opgave 11

Gegeven:
Teken zelf een figuur.

Te bewijzen:
$B E = C D$ .

Bewijs:
$E C = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} A B = D B$ en $B C = C B$ en $∠ A C B = ∠ A B C$ (stelling gelijkbenige driehoek). Dus is $Δ B E C ≅ Δ C D B$ (ZHZ). En daarom is $B E = C D$ . Q.e.d.

Opgave 12

Gegeven:
Maak een tekening en noem $∠ A P D = ∠ P_{1}$ , $∠ B P D = ∠ P_{2}$ en $∠ B P C = ∠ P_{3}$ . Nu is $∠ P_{1} = ∠ P_{2}$ .

Te bewijzen:
$∠ P_{2} + ∠ P_{3} = \frac{1}{2} \cdot (∠ P_{3} + ∠ P_{1} + ∠ P_{2} + ∠ P_{3})$ .

Bewijs:
$\frac{1}{2} \cdot (∠ P_{3} + ∠ P_{1} + ∠ P_{2} + ∠ P_{3}) = ∠ P_{3} + \frac{1}{2} \cdot (∠ P_{1} + ∠ P_{2}) = ∠ P_{3} + ∠ P_{2}$ vanwege het gegeven dat $∠ P_{1} = ∠ P_{2}$ . Q.e.d.

Opgave 13

Gegevens en te bewijzen staan in de opgave.

Bewijs:
Uit $∠ A = ∠ A$ , $A B = A D$ en $A C = A E$ volgt dat de driehoeken $A B C$ en $A D E$ congruent zijn (ZHZ).
En daaruit volgt $∠ C = ∠ E$ . Q.e.d.

Opgave 14

Gegevens en te bewijzen staan in de opgave. Maak zelf een figuur.

Bewijs:
Omdat $∠ D A C = 90 ° - ∠ B$ en $∠ A C D = 90 ° - ∠ B$ is $Δ A D C$ gelijkzijdig en heeft dus hoeken van $60 °$ (stelling gelijkzijdige driehoek). Hieruit volgt: $∠ B = 30$ ° (hoekensom driehoek) en $∠ E D B = 180 ° - 90 ° - ∠ A D C = 180 ° - 90 ° - 60 ° = 30$ ° (gestrekte hoek). Omdat nu dus $∠ E D B = ∠ B$ is driehoek $E B D$ gelijkbenig (stelling gelijkbenige driehoek). Q.e.d.

Opgave 15

Gegevens en te bewijzen staan in de opgave. Maak zelf een figuur.

Bewijs:
Omdat $B C = C D$ , $E C = A C$ en $∠ E C B = ∠ A C B + 60 ° = ∠ A C D$ is $Δ A D C ≅ Δ E B C$ (ZHZ). Dus is $A D = B E$ . Q.e.d.

Opgave 16

Gegevens en te bewijzen staan in de opgave. Maak zelf een figuur.

Bewijs:
Omdat $∠ A = ∠ D$ , $∠ B = ∠ C$ en $D S = S A$ is $Δ D S B ≅ Δ A S C$ (ZHH). Dus is $A C = B D$ . Q.e.d.

Opgave 17

Gegeven:
Gelijkbenige driehoek $A B C$ met $A C = B C$ met daarin de lijnstukken $B D ⊥ A C$ en $A E ⊥ B C$ .

Te bewijzen:
$B D = A E$ .

Bewijs:
Omdat $∠ A D B = ∠ B E A = 90$ °, $∠ A = ∠ B$ (stelling gelijkbenige driehoek) en $A B = B A$ is $Δ A B E ≅ Δ B A D$ (ZHH). Dus is $B D = A E$ . Q.e.d.

verder | terug