Redeneren en bewijzen

Redeneren en bewijzen > Bewijzen

123456Bewijzen

Voorbeeld 2

Bewijs:
Een driehoek waarvan de hoekpunten de middens zijn van drie zijden van een vierkant is rechthoekig en gelijkbenig.

> antwoord

Gegeven:
Zie figuur; er zijn letters ingevoerd, de streepjes geven gelijke lijnstukken aan. $A B C D$ is een vierkant.
$A P = P B$ , $C Q = Q D$ en $D R = R A$ .

Te bewijzen:
$P R = Q R$ en $∠ P R Q = 90 °$ .

Bewijs:
Omdat $P B = Q C$ en $P B / / Q C$ , is $P B C Q$ een parallellogram (stelling parallellogram). Bovendien heeft $P B C Q$ een rechte hoek en is dus een rechthoek (stelling rechthoek). Als $a$ de lengte van de zijden van het vierkant $A B C D$ is, is dus ook $P Q = a$ .
Omdat $∆ A P R$ gelijkbenig en rechthoekig is geldt $P R^{2} = {(\frac{1}{2} a)}^{2} + {(\frac{1}{2} a)}^{2} = \frac{1}{2} a^{2}$ .
Op dezelfde wijze is $P R^{2} = \frac{1}{2} a^{2}$ . En dus is $P R = Q R$ .
Dus geldt in $∆ P Q R$ dat $P R^{2} + Q R^{2} = \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} a^{2} = a^{2} = P Q^{2}$ .
En daarom is $∆ P Q R$ rechthoekig (omgekeerde stelling van Pythagoras).
Q.e.d.

Opgave 5

In Voorbeeld 2 zie je een ander bewijs van de stelling: "Een driehoek waarvan de hoekpunten de middens zijn van drie zijden van een vierkant is rechthoekig en gelijkbenig" dan in Voorbeeld 1.

Hoe wordt in dit tweede bewijs gebruik gemaakt van lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B?

Loop dit bewijs zelf na. Zorg ervoor dat je elke stap begrijpt.

verder | terug