Redeneren en bewijzen

Redeneren en bewijzen > Bewijzen

Overzicht

123456Bewijzen

Voorbeeld 4

Hier zie je hoe de kortste weg van punt $A$ naar punt $B$ via de beek wordt geconstrueerd door een loodlijn door $B$ op de beek te trekken en dan vervolgens een punt $D$ te tekenen dat op die loodlijn en even ver van de beek ligt. Het snijpunt $C$ van AD en de beek levert de korste route AC + BD.
Bewijs dat deze constructie juist is.

> antwoord

Gegeven:
Uit de constructie volgt dat $B D$ loodrecht staat op de beek, dus $∠ B E C = ∠ D E C = 90 °$ . Verder is $B E = E D$ en lijn $A D$ een rechte lijn.

Te bewijzen:
$A C + C B$ is de kortste afstand van $A$ naar $B$ via de beek.

Bewijs:
Uit de gegevens volgt meteen dan $∆ C B E$ en $∆ C D E$ congruent zijn (ZHZ).
Dus is $C D = C B$ .
De punten $A$ , $C$ en $D$ liggen op de rechte lijn $A D$ en dus is $A C + C D$ de kortste afstand van $A$ naar $D$ (driehoeksongelijkheid).
En daarom is $A C + C B = A C + C D$ ook de kortste afstand.
Q.e.d.

Opgave 7

In Voorbeeld 4 zie je het bewijs van de kortste verbinding via een lijn tussen twee punten $A$ en $B$ die aan dezelfde kant van die lijn liggen (maar er niet op).

Loop dit bewijs nog eens na, doe de constructie met GeoGebra.

Opgave 8

Gegeven is rechthoek $A B C D$ met diagonaal $A C$ . Bewijs dat de loodlijn uit punt $D$ op $A C$ gelijk is aan de loodlijn uit punt $B$ op $A C$ .

Teken een geschikte figuur of construeer hem in GeoGebra. Teken beide loodlijnen er in, noem ze $D E$ en $B F$ .

Welke lijnstukken in je figuur moeten nu gelijk zijn?

Kun je geschikte congruente driehoeken vinden? Maak een plan voor je bewijs.

Formuleer nu een volledig en duidelijk bewijs. Let goed op de verwijzingen naar de lijst van definities/stellingen in de Vlakke Meetkunde voor vwo wiskunde B.

verder | terug