Redeneren en bewijzen

Redeneren en bewijzen > Gelijkvormigheid

Overzicht

123456Gelijkvormigheid

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Probeer zelf een overzicht te maken.

Opgave 2

Doen.

Omdat $| A B' | = \frac{| D E |}{| A B |} \cdot | A B | = | D E |$ en de hoeken door het vergroten niet veranderen.

Omdat $Δ D E F ≅ Δ A B' C'$ een vergroting is van $Δ A B C$ zijn deze driehoeken gelijkvormig.

Je hebt bij gelijkvormigheid van driehoeken genoeg om aan te tonen dat twee paar hoekenen gelijk zijn, want dan is (stelling hoekensom driehoeken) ook het derde paar hoeken gelijk. Dat geldt bijvoorbeeld voor vierhoeken, vijfhoeken, e.d. niet. De gelijkvormigheid van veelhoeken met meer dan drie hoekpunten is ingewikkelder.

Opgave 3

Congruente driehoeken zijn ook gelijkvormig, maar het omgekeerde is vrijwel nooit het geval.

Opgave 4

Gelijkvormigheidskenmerk hh.

$Δ B C S$ en $Δ E S D$ . (Gelijkvormigheidskenmerk hh, met Z-hoeken en/of overstaande hoeken.)

Opgave 5

Zie tabel.

∆ABC	AB	BC	AC
∆DEC	DE	EC	DC

$E C$ , je vindt: $\frac{| E C |}{4} = \frac{2,5}{6}$ dus $| E C | = 1 \frac{2}{3}$ .

Opgave 6

Eerst met de stelling van Pythagoras $| A B | = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13$ .
Nu vanuit de verhoudingstabel: $\frac{| C D |}{5} = \frac{12}{13}$ , dus $| C D | = \frac{60}{13}$ .

In de figuur betekent dit dat je moet bewijzen: ${| C D |}^{2} = | A D | \cdot | B D |$ .
Dit volgt vrijwel direct uit de verhoudingstabel.

Opgave 7

zhz, want $\frac{| A C |}{| C D |} = \frac{| B C |}{| C E |}$ en $∠ A C B = ∠ D C E$ (overstaande hoeken).

$\frac{| A B |}{| D E |} = \frac{2}{5}$

$| D E | = \frac{5}{2} \cdot 1,8 = 4,5$

Opgave 8

$| S A' | = 3 | S A |$ en $| S B' | = 3 | S B |$ , dus $\frac{(| S A' |)}{(| S A |)} = \frac{(| S B' |)}{(| S B |)}$ en $∠ A S B = ∠ A' S B'$ . Gelijkvormigheidskenmerk zhz.

$| A' B' | = 3 | A B |$ en net zo: $| B' C' | = 3 | B C |$ en $| A' C' | = 3 | A C |$ .

Gelijkvormigheidskenmerk zzz.

Factor is onbelangrijk, mag ook kleiner dan $1$ zijn.

Als je een driehoek met een bepaalde factor vanuit een gegeven punt vergroot krijg je een nieuwe driehoek die gelijkvormig is met de gegeven driehoek.

Eigen antwoord.

Opgave 9

Omdat $∠ E A D = ∠ B A C$ (overstaande hoeken) en $∠ E D A = ∠ B C A$ zijn de driehoeken $A B C$ en $A E D$ gelijkvormig (hh).
$\frac{| A D |}{| A C |} = \frac{| E A |}{| B A |}$ geeft $\frac{5}{20} = \frac{| E A |}{12}$ en dus $| E A | = 3$ .

Omdat $∠ F A G = ∠ B A C$ en $∠ A F G = ∠ B C A$ zijn de driehoeken $A F G$ en $A C B$ gelijkvormig (hh).
$\frac{| A F |}{| A C |} = \frac{| G A |}{| B A |}$ geeft $\frac{5}{20} = \frac{| G A |}{12}$ en dus $| G A | = 3$ .

Opgave 10

Omdat $∠ C = ∠ C$ en $∠ B A C = ∠ D B C$ zijn de driehoeken $A B C$ en $D B C$ gelijkvormig (hh).

$\frac{| D B |}{| A B |} = \frac{| B C |}{| A C |}$ geeft $\frac{| D B |}{10} = \frac{5}{8}$ en dus $| D B | = 6,25$ .

Opgave 11

Gegevens en te bewijzen staan in de opgave. Maak zelf een figuur.

Bewijs:
$∠ A E S = 90 ° = ∠ B D A$ en $∠ A S E = ∠ B S D$ dus $Δ A S E ~ Δ B S D$ (hh). Hieruit volgt: $\frac{| A S |}{| B S |} = \frac{| S E |}{| S D |}$ en dus $| A S | \cdot | S D | = | B S | \cdot | S E |$ . Q.e.d.

Opgave 12

Gegeven:
Ruit $A B C D$ . $P$ , $Q$ , $R$ en $S$ zijn de middens van de zijden.

Te bewijzen:
$P Q R S$ is een rechthoek.

Bewijs:
$Δ A P S ~ Δ A B D$ ( $∠ A = ∠ A$ , $\frac{| A S |}{| A D |} = \frac{| A P |}{| A B |} = \frac{1}{2}$ , dus zhz) betekent dat $| P S | = \frac{1}{2} | B D |$ en dat $P S$ en $B D$ evenwijdig zijn. Op dezelfde manier bewijs je dit voor $Q R$ en $B D$ .
Zo bewijs je ook $| P Q | = | R S | = \frac{1}{2} | A C |$ en $P Q$ en $R S$ evenwijdig aan $A C$ .
Vierhoek $P Q R S$ heeft dus twee paren gelijke en evenwijdige overstaande zijden en is dus een parallellogram (stelling parallellogram).
Omdat $A C ⊥ B D$ (stelling ruit) zijn ook de hoeken van $P Q R S$ recht en is $P Q R S$ een rechthoek (stelling rechthoek).

Opgave 13

Gegeven:
$Δ A B C$ met $D$ als midden van $B C$ , $E$ als midden van $A C$ en $F$ als midden van $A B$ .

Te bewijzen:
$Δ A F E ≅ Δ F B E ≅ Δ E D C ≅ Δ D E F$ .

Bewijs:
Omdat $∠ C = ∠ C$ en $\frac{| C E |}{| C A |} = \frac{| C D |}{| C B |} = \frac{1}{2}$ is $Δ E D C ~ Δ A B C$ (zhz) met vergrotingsfactor $0,5$ . Dit bewijs je op dezelfde manier voor $Δ F B D$ en $Δ A F E$ . Omdat $A F = F A$ , $∠ A F E = ∠ F E D$ (Z-hoeken) en $∠ A E F = ∠ E F D$ (Z-hoeken) is $Δ D E F ≅ Δ A F E$ . Alle vier de driehoeken zijn daarom verkleiningen van $Δ A B C$ met factor $0,5$ . Q.e.d.

Opgave 14

$P_{6} = P_{0}$

$P_{0} P_{1}$ evenwijdig $B C$ en $| A P_{0} | = \frac{1}{5} | A C |$ betekent $| A P_{1} | = \frac{1}{5} | A B |$ .
$P_{1} P_{2}$ evenwijdig $A C$ en $| A P_{1} | = \frac{1}{5} | A B |$ betekent $| C P_{2} | = \frac{1}{5} | B C |$ .
Zo is ook: $| C P_{3} | = \frac{1}{5} | A C |$ , $| B P_{4} | = \frac{1}{5} | A B |$ , $| B P_{5} | = \frac{1}{5} | B C |$ en $| A P_{6} | = \frac{1}{5} | A C | = | A P_{0} |$ .
Dus moet $P_{6} = P_{0}$ .

Opgave 15

$\frac{| A D |}{6} = \frac{| D E |}{3} = \frac{2}{4}$ , dus $| A D | = 3$ en $| D E | = 1,5$ .

Opgave 16

Gegevens en te bewijzen staan in de opgave. Maak zelf een figuur.

Bewijs:
Omdat $∠ C = ∠ C$ en $\frac{| C E |}{| C A |} = \frac{| C D |}{| C B |} = \frac{1}{2}$ is $Δ A B C ~ Δ E D C$ (zhz). Dus is $E D$ evenwijdig aan $A B$ en $\frac{| E D |}{| A B |} = \frac{1}{2}$ . Omdat $∠ A S B = ∠ D S E$ , $∠ A B S = ∠ D E S$ (Z-hoeken) is $Δ A B S ~ Δ D E S$ (hh). Dus is $\frac{| A S |}{| D S |} = \frac{| B S |}{| E S |} = \frac{| E D |}{| A B |} = \frac{1}{2}$ . Hieruit volgt: $| A S | : | S D | = | B S | : | S E | = 2 : 1$ . Q.e.d.

verder | terug