Redeneren en bewijzen

Opgave 9

Op een been van een hoek met hoekpunt $A$ ligt een punt $B$ en op het andere been ligt een punt $C$ . $A B = 12$ cm en $A C = 20$ cm. Op het verlengde van $B A$ ligt een punt $D$ met $A D = 5$ cm en op het verlengde van $C A$ ligt een punt $E$ zo, dat $∠ E D A = ∠ B C A$ .

a

Bereken de lengte van $A E$ .

Op $A B$ ligt een punt $F$ met $A F = 5$ cm en op $A C$ ligt een punt $G$ zo, dat $∠ G F A = ∠ B C A$ .

b

Bereken de lengte van $A G$ .

Opgave 10

In de figuur hiernaast is $∠ B A D = ∠ D B C$ , $| A B | = 10$ , $| A C | = 8$ en $| B C | = 5$ .

a

Welke twee gelijkvormige driehoeken zijn er? Bewijs de gelijkvormigheid.

b

Bereken de lengte van $D B$ .

Opgave 11

Teken in een willekeurige scherphoekige driehoek $A B C$ een loodlijn $A D$ vanuit $A$ op zijde $B C$ en een loodlijn $B E$ vanuit $B$ op zijde $A C$ . Het snijpunt van deze loodlijnen is $S$ .

Bewijs dat $| A S | \cdot | S D | = | B S | \cdot | S E |$ .

Opgave 12

Vierhoek $A B C D$ is een ruit. De punten $P$ , $Q$ , $R$ en $S$ zijn de middens van de zijden van die ruit.

Bewijs dat $P Q R S$ een rechthoek is.

Opgave 13

Bewijs dat je elke driehoek in vier gelijke delen kunt verdelen met behulp van drie middenparallellen.

Opgave 14

In een driehoek $A B C$ wordt op $A C$ een punt $P_{0}$ gekozen zo, dat $| A P_{0} | : | A C | = 1 : 5$ . Dan wordt vanuit $P_{0}$ een lijn evenwijdig aan $B C$ getrokken naar $P_{1}$ op $A B$ en vervolgens vanuit $P_{1}$ een lijn evenwijdig aan $C A$ naar $P_{2}$ op $B C$ en vanuit $P_{2}$ een lijn evenwijdig aan $A B$ naar $P_{3}$ op $C A$ . Met $P_{3}$ in plaats van $P_{0}$ worden net zo weer drie lijnen getrokken, naar $P_{4}$ op $A B$ , $P_{5}$ op $B C$ en naar $P_{6}$ op $C A$ .

a

Welk vermoeden levert een tekening over de ligging van $P_{6}$ ?

b

Bewijs dat vermoeden (Aanwijzing: In welke verhouding verdelen de punten $P$ de zijden van de driehoek?).

Verwerken