Redeneren en bewijzen

Redeneren en bewijzen > Gelijkvormigheid

123456Gelijkvormigheid

Voorbeeld 1

Bekijk de applet: Middenparallel.

Bewijs dat de lengte van een lijnstuk vanuit het midden van een zijde van een driehoek en evenwijdig met een andere zijde van die driehoek een lengte heeft die gelijk is aan de helft van de lengte van de zijde waaraan het evenwijdig is.
Zo'n lijnstuk heet een middenparallel in de gegeven driehoek.

> antwoord

Gegeven:
$D$ is het midden van $A B$ en $D E / / B C$ .

Te bewijzen:
$| D E | = \frac{1}{2} | B C |$ .

Bewijs:
Omdat $D E / / B C$ is $∠ A D E = ∠ A B C$ en $∠ D E A = ∠ B C A$ (F-hoeken).
Dus zijn $∆ A B C$ en $∆ A D E$ gelijkvormig (hh).
De zijden van beide driehoeken hebben daarom dezelfde verhoudingen, namelijk $1 : 2$ . En dus is $| D E | = \frac{1}{2} | B C |$ .
Q.e.d.

Opgave 4

In Voorbeeld 1 wordt de stelling bewezen dat een middenparallel binnen een driehoek de helft is van de zijde waaraan hij evenwijdig is.

Loop het bewijs na. Welk gelijkvormigheidskenmerk wordt gebruikt?

Teken de lijnstukken $B E$ en $C D$ . Deze lijnstukken snijden elkaar in punt $S$ . Welke twee gelijkvormige driehoeken ontstaan nu?

verder | terug