Redeneren en bewijzen

Redeneren en bewijzen > Gelijkvormigheid

Overzicht

123456Gelijkvormigheid

Voorbeeld 3

Bekijk de applet.

$∆ A B C$ heeft in $C$ een rechte hoek.
Bewijs dat ${A C}^{2} + {B C}^{2} = {A B}^{2}$ .

> antwoord

Gegeven:
$∠ A C B = 90 °$ . Je tekent hoogtelijn $C D$ , dus ook $∠ A D C = ∠ C D B = 90 °$ .

Te bewijzen:
${A C}^{2} + {B C}^{2} = {A B}^{2}$ .

Bewijs:
De driehoeken $A B C$ , $C B D$ en $A C D$ zijn gelijkvormig (hh). De verhoudingen van hun zijden zijn daarom gelijk, dus je kunt deze verhoudingstabel maken.

$∆ A B C$	$A B$	$B C$	$A C$
$∆ C B D$	$B C$	$B D$	$C D$
$∆ A C D$	$A C$	$C D$	$A D$

Hieruit kun je afleiden:
${B C}^{2} = A B \cdot B D$ en ${A C}^{2} = A B \cdot A D$ .
Dus: ${A C}^{2} + {B C}^{2} = A B \cdot B D + A B \cdot A D = A B \cdot (B D + A D) = {A B}^{2}$ .

Je ziet: een geheel nieuw bewijs van de stelling van Pythagoras!

Opgave 6

In Voorbeeld 3 vind je een ander bewijs van de stelling van Pythagoras.

Neem aan dat $A C = 5$ en $B C = 12$ . Bereken de lengte van $C D$ .

Bewijs dat in een rechthoekige driehoek het kwadraat van de hoogtelijn op de hypothenusa gelijk is aan het product van de lengtes waarin hij die hypothenusa verdeelt.

Opgave 7

Hier zie je twee driehoeken, namelijk $Δ A B C$ en $Δ C D E$ .

Met welk gelijkvormigheidskenmerk toon je aan dat beide gelijkvormig zijn? Je noteert dit wel zo: $Δ A B C ~ Δ D E C$ .

Wat kun je op grond daarvan zeggen over de zijden $A B$ en $D E$ ?

Neem aan, dat $| A B | = 1,8$ cm. Hoe lang is dan $D E$ ?

Opgave 8

Gegeven is een driehoek $A B C$ en een punt $S$ in de driehoek. $A'$ ligt op het verlengde van $S A$ , waarbij $| S A' | = 3 | S A |$ . Net zo ligt $B'$ op het verlengde van $S B$ met $| S B' | = 3 | S B |$ en $C'$ op het verlengde van $S C$ met $| S C' | = 3 | S C |$ . Maak een tekening.

Met welk kenmerk kun je aantonen dat $Δ S A B ~ Δ S A' B'$ ?

Wat concludeer je over $| A' B' |$ ? Wat gaat natuurlijk net zo?

Met welk kenmerk kun je aantonen dat $Δ A B C ~ Δ A' B' C'$ ?

Hoe belangrijk is de factor $3$ in het gegeven? Had die factor ook kleiner dan $1$ mogen zijn?

Formuleer op grond van het bovenstaande een stelling. Maak hem zo algemeen mogelijk.

Geef in een tekening aan van welke hoeken je nu weet dat ze gelijk zijn.

verder | terug