Doen.

Stelling:
De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt.

Bewijs:
Laat $AD$ en $BE$ zwaartelijnen zijn in een driehoek $ABC$, en $Z$ hun snijpunt. Omdat $\Delta CED~\Delta CAB$ (hh) en $\left|CE\right|:\left|CA\right|=1:2$ is ook $\left|DE\right|:\left|AB\right|=1:2$. Ook is $\Delta ZDE~\Delta ZAB$ (hh). Omdat $\left|DE\right|:\left|AB\right|=1:2$ is ook $\left|ZE\right|:\left|ZB\right|=1:2$ en $\left|ZD\right|:\left|ZA\right|=1:2$.
Twee zwaartelijnen verdelen elkaar dus in de verhouding $1$ : 2. Maar dan moet de zwaartelijn uit $C$ die uit $A$ ook zo verdelen, dus door $Z$ gaan. De drie zwaartelijnen gaan dus door één punt. Dat heet het zwaartepunt van de driehoek. Q.e.d.
(Deze stelling staat ook in de lijst definities/stellingen voor de vlakke meetkunde voor vwo wiskunde B, dus een bewijs is eigenlijk niet nodig, maar wel een goede oefening.)

Gegeven:
$\Delta ABC$ met $AC=BC$ en $AD$ en $BE$ als hoogtelijnen.

Te bewijzen:
$\left|AD\right|=\left|BE\right|$.

Bewijs:
$\left|AB\right|=\left|BA\right|$, $\angle D=\angle E=90$° en $\angle A=\angle B$ (stelling gelijkbenige driehoeken) geeft $\Delta ABD\cong \Delta BAE$ (ZHH). En dus is $\left|AD\right|=\left|BE\right|$. Q.e.d.

Gegeven:
'$\Delta ABC$ met $AC=BC$ en $AD$ en $BE$ als zwaartelijnen.

Te bewijzen:
$\left|AD\right|=\left|BE\right|$.

Bewijs:
$\left|AB\right|=\left|BA\right|$, $\angle A=\angle B$ (stelling gelijkbenige driehoeken) en $\left|AE\right|=\frac{1}{2}\left|AC\right|=\frac{1}{2}\left|BC\right|=\left|BD\right|$ geeft $\Delta ABD\cong \Delta BAE$ (ZZH). En dus is $\left|AD\right|=\left|BE\right|$. Q.e.d.

Gegeven:
$\Delta ABC$ met $AC=BC$ en $AD$ en $BE$ als deellijnen.

Te bewijzen:
$\left|AD\right|=\left|BE\right|$.

Bewijs:
$\left|AB\right|=\left|BA\right|$, $\angle A=\angle B$ (stelling gelijkbenige driehoeken) en $\angle BAD=\frac{1}{2}\angle A=\frac{1}{2}\angle B=\angle ABE$ geeft $\Delta ABD\cong \Delta BAE$ (ZHH). En dus is $\left|AD\right|=\left|BE\right|$. Q.e.d.

Congruentiekenmerken ZZH en ZZR.

Omdat $MD=ME=MF$ gaat er een cirkel door de punten $D,E$ en $F$. Omdat alle drie de lijnstukken loodrecht staan op een zijde van de driehoek zijn deze zijden raaklijnen van de cirkel.

Gegeven:
$\Delta ABC$ met middelloodlijnen op $AB$ en $BC$. Het snijpunt van deze middelloodlijnen is $M$, het midden van $AB$ is $D$ en het midden van $BC$ is $E$. $FM$ is de lijn door $M$ en het midden $F$ van $AC$.

Te bewijzen:
$MF\perp AC$.

Bewijs:
Omdat $MD$ de middelloodlijn van $AB$ is, is $\Delta ADM\cong \Delta BDM$ (ZHZ) en dus is $\left|AM\right|=\left|BM\right|$.
Op dezelfde manier is $\left|BM\right|=\left|CM\right|$.
Daarom is $\left|AM\right|=\left|CM\right|$. Bovendien is $\left|AF\right|=\left|FC\right|$ en $\left|FM\right|=\left|FM\right|$, zodat $\Delta AFM\cong \Delta CFM$ (ZZZ).
En daarom is $\angle AFM=\angle CFM=90$° zodat $MF\perp AC$. Q.e.d.

$M$ ligt binnen de driehoek $ABC$ als deze driehoek scherphoekig is, anders niet.

Omdat $\left|MA\right|=\left|MB\right|=\left|MC\right|$.

Omdat die drie punten de hoekpunten van een driehoek vormen en je met behulp van middelloodlijnen van de zijden van zo'n driehoek een cirkel door de hoekpunten kunt tekenen.

Doen.

Gegeven: $\Delta ABC$ met drie hoogtelijnen. Het snijpunt van deze hoogtelijnen is $H$.
Te bewijzen: Alle drie de hoogtelijnen gaan door $H$. Bewijs: Teken $\Delta DEF$ door een lijn door $A$ en evenwijdig $BC$, door $B$ en evenwijdig $AC$en door $C$een lijn evenwijdig aan $AB$ te trekken. De hoogtelijnen van $\Delta ABC$ zijn middelloodlijnen van $\Delta DEF$ en gaan dus door één punt (zie vorige opgave). Q.e.d.

Trek een lijn door $B$ en evenwijdig $AC$.
Punt $E$ is het snijpunt van de bissectrice $CD$ met deze lijn.
Nu is $\angle BED=\angle ACD$ (Z-hoeken) en dus is $AC=BC$ (gelijkbenige driehoek $CEB$).
Verder zijn de driehoeken $ACD$ en $BED$ gelijkvormig (hh).
Dus: $AD/DB=AC/EB=AC/BC$. Q.e.d.

$AD=\frac{8}{12}\cdot 6=4$ en $DC=\frac{4}{12}\cdot 6=2$.

Gegeven:
$\Delta ABC$ met de hoogtelijnen $AD$ en $BE$ en $\left|AD\right|=h_A$, $\left|BE\right|=h_B$, $\left|BC\right|=a$ en $\left|AC\right|=b$.

Te bewijzen:
$h_A:h_B=b:a$.

Bewijs:
Uit $\angle D=\angle E=90°$ en $\angle C=\angle C$ volgt $\Delta ADC~\Delta BEC$ (hh). Daaruit volgt: $\frac{h_A}{b}=\frac{h_B}{a}$. En dat levert op $h_A:h_B=b:a$. Q.e.d.

Nu gebruik je dat de oppervlakte van $\Delta ABC$ is te schrijven als $\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_A$ en ook als $\frac{1}{2}\cdot b\cdot h_B$.

Gegeven:
$\Delta ABC$, de bissectrice van $\angle A$ en de buitenbissectrices van $\angle B$ en $\angle C$.

Te bewijzen:
De drie bissectrices gaan door punt $S$, het snijpunt van de bissectrice van $\angle A$ en de buitenbissectrice van $\angle B$.

Bewijs:
Punten op een bissectrice hebben gelijke afstanden tot de benen van de hoek. Dus:
$S$ ligt op de bissectrice van $\angle A$: de afstand van $S$ tot $AB$ is gelijk aan de afstand tot $AC$.
$S$ ligt op de buitenbissectrice van $\angle B$: de afstand van $S$ tot $AB$ is gelijk aan de afstand tot $BC$.
Dan is de afstand van $S$ tot $AC$ gelijk aan de afstand tot $BC$, dus $S$ is een punt van de buitenbissectrice van $\angle C$. De drie bissectrices gaan door punt $S$. Q.e.d.

Gegeven:
De bissectrice en de buitenbissectrice van $\angle A$. De binnenhoek wordt verdeeld in $\angle A_1$ en $\angle A_2$ en de buitenhoek in $\angle A_3$ en $\angle A_4$.

Te bewijzen:
De twee bissectrices staan loodrecht op elkaar.

Bewijs:
$AD$ is de bissectrice van $\angle A$, dus $\angle A_1=\angle A_2$. De buitenbissectrice deelt de hoek middendoor, dus $\angle A_3=\angle A_4$. Bekend is dat $\angle A_1+\angle A_2+\angle A_3+\angle A_4=180°$. Dan is $\angle A_2+\angle A_3=90°$. Q.e.d.

Gegeven:
$\Delta ABC$ met zwaartelijn $AD$. De buitenbissectrice van $\angle A$ staat loodrecht op de zwaartelijn $AD$.

Te bewijzen:
$\Delta ABC$ is gelijkbenig.

Bewijs:
Omdat $\angle BAD$ samen met de halve buitenhoek 90° is en dit ook geldt voor $\angle DAC$ en de andere halve buitenhoek, is $\angle BAD=\angle DAC$. En omdat ook $\left|AD\right|=\left|AD\right|$ en $\left|BD\right|=\left|DC\right|$ is $\Delta BAD\cong \Delta CAD$ (ZZH). Dus is $\angle B=\angle C$ en is $\Delta ABC$ gelijkbenig (stelling gelijkbenige driehoek). Q.e.d.