Redeneren en bewijzen

Redeneren en bewijzen > Bijzondere lijnen

123456Bijzondere lijnen

Voorbeeld 2

Bekijk de applet: Bissectrices.

Bewijs dat de zwaartelijnen van een driehoek elkaar in één punt snijden en dat dit punt de zwaartelijnen verdeelt in stukken die zich verhouden als $1 : 2$ .

> antwoord

Gegeven:
$A E$ , $B F$ en $C D$ zijn zwaartelijnen, dus $B E = E C$ , $A F = F C$ en $A D = D B$ . $Z$ is het snijpunt van $A E$ en $B F$ .

Te bewijzen:
$C D$ gaat door $Z$ en $F Z : Z B = E Z : Z A = D Z : Z C = 1 : 2$ .

Bewijs:
$C A = 2 \cdot C F$ en $C B = 2 \cdot C E$ , dus $∆ A B C$ is gelijkvormig met $∆ F E C$ (hh). Dit betekent: $A B = 2 \cdot F E$ en $A B / / F E$ . Hieruit volgt: $∠ B A E = ∠ A E F$ en $∠ A B F = ∠ B F E$ (Z-hoeken). En dus is $∆ A B Z$ gelijkvormig met $∆ E F Z$ (hh).
Omdat $A B = 2 \cdot F E$ is $F Z : Z B = 1 : 2 = E Z : Z A$ . De zwaartelijnen $A E$ en $B F$ verdelen elkaar dus in de verhouding $1 : 2$ .
Eenzelfde redenering geldt voor bijvoorbeeld de zwaartelijnen $A E$ en $C D$ . En dus moet $C D$ wel door punt $Z$ gaan. Alle drie de zwaartelijnen gaan door één punt $Z$ , het zwaartepunt van de driehoek. Q.e.d.

Opgave 7

In Voorbeeld 2 wordt bewezen dat de drie zwaartelijnen van een driehoek $A B C$ door één punt gaan.

Teken een driehoek $A B C$ met daarin de drie hoogtelijnen.

Bewijs dat die drie hoogtelijnen door één punt gaan. Teken daartoe $Δ D E F$ door een lijn door $A$ en evenwijdig $B C$ , door $B$ en evenwijdig $A C$ en door $C$ een lijn evenwijdig aan $A B$ te trekken. Gebruik het resultaat van de vorige opgave.

verder | terug