Redeneren en bewijzen

Redeneren en bewijzen > Bijzondere lijnen

123456Bijzondere lijnen

Voorbeeld 3

Bekijk de applet.

Bewijs dat de bissectrice een hoek in een driehoek de tegenoverliggende zijde verdeeld in stukken die zich verhouden als de zijden op de benen van die hoek.

> antwoord

Gegeven:
Zie figuur. $∠ B A D = ∠ C A D$ .

Te bewijzen:
$B D / C D = A B / A C$ .

Bewijs:
Trek een lijn door $C$ en evenwijdig $A B$ .
Punt $E$ is het snijpunt van de bissectrice met deze lijn.
Nu is $∠ C E D = ∠ B A D$ (Z-hoeken) en dus is $A C = C E$ (gelijkbenige driehoek $A E C$ ).
Verder zijn de driehoeken $A B D$ en $E C D$ gelijkvormig (hh).
Dus: $B D / C D = A B / E C = A B / A C$ .
Q.e.d.

Opgave 8

Bekijk het bewijs dat een bissectrice van een hoek in een driehoek de overstaande zijde verdeelt in stukken met dezelfde verhouding als de zijden op de benen van die hoek, zie Voorbeeld 3.

Voer zelf dit bewijs uit voor de bissectrice van $∠ C$ .

Stel je voor dat in $Δ A B C$ geldt: $| A B | = 8$ , $| B C | = 4$ en $| A C | = 6$ . $B D$ is de bissectrice van $∠ B$ . Bereken de lengtes van $A D$ en $C D$ .

verder | terug