Redeneren en bewijzen

Redeneren en bewijzen > Totaalbeeld

123456Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Gegevens en te bewijzen: zie opgave en figuur.

Bewijs:
Uit $∠ A + ∠ P R A = 90 °$ en $∠ Q R P + ∠ P R A = 90 °$ volgt $∠ Q R P = ∠ A$ . Uit $∠ B + ∠ B P Q = 90 °$ en $∠ Q P R + ∠ B P Q = 90 °$ volgt $∠ Q P R = ∠ B$ . En daaruit volgt $Δ P Q R ~ Δ A B C$ (hh). Q.e.d.

Opgave 2

Gegeven: $Δ A B C$ en de gelijkzijdige driehoeken $A C D$ en $B C E$ (die niet overlappen met $Δ A B C$ ).
Te bewijzen: $A E = B D$ .
Bewijs: De hoeken van de gelijkzijdige driehoeken zijn allemaal $60 °$ (stelling gelijkzijdige driehoek).
$| C E | = | C B |$ , $| C D | = | C A |$ en $∠ A C E = ∠ A C B + 60 ° = ∠ B C D$ geeft $Δ A E C ≅ Δ D B C$ (ZHZ). En dus is $| A E | = | B D |$ . Q.e.d.

Opgave 3

Gegeven is dat $s$ de lijnen $l$ , $m$ en $n$ snijdt in de punten $A$ , $B$ en $C$ .
Omdat $m$ en $n$ evenwijdig zijn met $l$ zijn de hoeken bij de snijpunten ook 90° (F-hoeken).

Lijn $t$ staat loodrecht op lijn $l$ en dus staat $t$ loodrecht op $m$ en $n$ (F-hoeken).
De snijpunten van $t$ met $l$ , $m$ en $n$ zijn respectievelijk $D$ , $E$ en $F$ . Dan zijn $A B E D$ en $B C F E$ rechthoeken (definitie rechthoek). Dus is $| A B | = | D E |$ en $| B C | = | E F |$ en is ook $| B C | : | E F | = 1 : 3$ .

Lijn $u$ staat niet loodrecht op $l$ en gaat door $D$ . De snijpunten van $u$ met $m$ en $n$ zijn respectievelijk $G$ en $H$ .
Met behulp van F-hoeken is $Δ D E G ~ Δ D F H$ , zodat $| D E | : | D F | = 1 : 4 = | D G | : | D H |$ .
En daaruit volgt $| D G | : | G H | = 1 : 3$ .

Opgave 4

Gegeven: $Δ A B C$ met hoogtelijnen $A D$ , $B E$ en $C F$ en $Δ D E F$ .
Te bewijzen: $A D$ , $B E$ en $C F$ zijn bissectrices van $Δ D E F$ .
Bewijs: Omdat $∠ C = ∠ C$ en $∠ A D C = ∠ B E C = 90 °$ is $Δ A D C ~ Δ B E C$ (hh) en dus is $\frac{A C}{B C} = \frac{D C}{E C}$ . Uit dit laatste volgt samen met $∠ C = ∠ C$ dat $Δ E D C ~ Δ B A C$ (zhz) en dus dat $∠ E D C = ∠ A$ en $∠ D E C = ∠ B$ .
Op dezelfde manier bewijs je dat $∠ F D B = ∠ A$ en $∠ D F B = ∠ C$ . En ook dat $∠ A F E = ∠ C$ en $∠ A E F = ∠ B$ .
En daaruit volgt: $∠ C F D = 90 ° - ∠ B = ∠ E F C$ en dus is $C F$ bissectrice van $∠ E F D$ .
Enzovoorts...

Opgave 5

Zie figuur.

Zie de figuur hiernaast.
De ingeschreven cirkel heeft als middelpunt het snijpunt $M$ van de bissectrices en als straal $M D = M E = M F = r$ . Gebruik nu de gelijkvormige driehoeken $A B D$ en $A M E$ (hh).
Pythagoras: $A D = \sqrt{8^{2} - 2^{2}} = \sqrt{60}$ .
$\frac{r}{2} = \frac{\sqrt{60} - r}{8}$ geeft $r = 0,2 \sqrt{60}$ .

Opgave 6De stelling van Menelaos

De stelling van Menelaos

Gegeven:
$Δ A B C$ met $D$ op het verlengde van $A B$ , $E$ op $B C$ en $F$ het snijpunt van lijn $D E$ en zijde $A C$ . (Lijn $D E$ is lijn $m$ .)

Te bewijzen:
$\frac{| A D |}{| B D |} \cdot \frac{| B E |}{| C E |} \cdot \frac{| C F |}{| A F |} = 1$ .

Bewijs:
Teken lijn $n$ door $C$ en evenwijdig $A B$ . $G$ is het snijpunt van $m$ en $n$ .
Omdat $∠ F G C = ∠ B D E$ en $∠ E C G = ∠ B D E$ (Z-hoeken) is $Δ G E C ~ Δ D E B$ en dus $\frac{| C F |}{| A F |} = \frac{| C G |}{| A D |}$ .
Omdat $∠ F G C = ∠ B D E$ en $∠ F C G = ∠ D A F$ (Z-hoeken) is $Δ G F C ~ Δ D F A$ en dus $\frac{| C G |}{| B D |} = \frac{| C E |}{| B E |}$ .
Hieruit volgt $\frac{| C F |}{| A F |} \cdot | A D | = \frac{| C E |}{| B E |} \cdot | B D |$ en daaruit volgt $\frac{| A D |}{| B D |} \cdot \frac{| B E |}{| C E |} \cdot \frac{| C F |}{| A F |} = 1$ . Q.e.d.

Gaat op een vergelijkbare manier, weer teken je dezelfde hulplijn.

Opgave 7Constructies met passer en liniaal

Constructies met passer en liniaal

Uit $P A = P B$ , $A S = B S$ en $P S = P S$ volgt dat $Δ P A S ≅ Δ P B S$ , dus is $Δ P A B$ gelijkbenig met $P S$ als bissectrice van $∠ A P B$ . Als $M$ het snijpunt van $P S$ en $A B$ is betekent dit dat ook $Δ P A M ≅ Δ P B M$ (ZHZ). En dus is $∠ A M P = ∠ B M P = 90 °$ .

Nu is $A Q B P$ een ruit en dus staan de diagonalen loodrecht op elkaar en delen ze elkaar middendoor (stelling ruit en stelling parallellogram).

Nu is $A B D C$ een ruit en wordt $∠ A$ door diagonaal $A D$ middendoor gedeeld (stelling ruit).

Opgave 8Voronoi-diagrammen

Voronoi-diagrammen

Wordt een driehoek met de drie middelloodlijnen door één punt, tenzij de punten op een rechte lijn liggen. In dat laatste geval krijg je twee parallelle middelloodlijnen.

Er zijn nu $\frac{(4 \cdot 3)}{2} = 6$ middelloodlijnen in totaal.

Doen.

Opgave 9De rechte van Euler

De rechte van Euler

Globale opzet van het bewijs:
Noem $D$ , $E$ , $F$ de middens van respectievelijk $B C$ , $A C$ en $A B$ en toon aan dat $Δ D E F ~ Δ A B C$ met een vergrotingsfactor van $- 0,5$ . De zwaartelijnen van $Δ A B C$ zijn dat ook in $Δ D E F$ , dus het zwaartepunt is voor beide driehoeken $Z$ . De middelloodlijnen van $Δ A B C$ worden de hoogtelijnen van $Δ D E F$ , dus de vermenigvuldiging van $Δ A B C$ t.o.v. van punt $Z$ met $- 0,5$ laat $H$ overgaan in $M$ en omgekeerd. Niet alleen liggen dus de drie punten op één lijn, maar ook geldt: $M Z : H Z = 1 : 2$ .

Opgave 10Driehoek en cirkel

Driehoek en cirkel

Zie figuur, teken lijnstuk $E D$ .
Nu is $∠ A D B = ∠ A B D = 90 ° - \frac{1}{2} ∠ B A D$ .
Evenzo: $∠ A D E = ∠ A E D = 90 ° - \frac{1}{2} ∠ E A D$ .
En dus is $∠ C D E = 180 ° - (90 ° - \frac{1}{2} ∠ B A D) - (90 ° - \frac{1}{2} ∠ E A D) = \frac{1}{2} (∠ B A D + ∠ E A D) = \frac{1}{2} α$ .

(bron: examen wiskunde B vwo 2008, tweede tijdvak)

verder | terug