Redeneren en bewijzen

Opgave 1

Bekijk deze figuur.
Bewijs dat $Δ P Q R$ gelijkvormig is met $Δ A B C$ .

Opgave 2

Gegeven is een driehoek $A B C$ . Op $A C$ wordt een gelijkzijdige driehoek $A C D$ en op $B C$ wordt een gelijkzijdige driehoek $B C E$ gemaakt. $∠ A C D = ∠ B C E$ en beide gelijkzijdige driehoeken overlappen driehoek $A B C$ niet.

Bewijs dat $B D = A E$ .

Opgave 3

$l$ , $m$ en $n$ zijn drie evenwijdige lijnen, $m$ tussen $l$ en $n$ . De lijn $s$ staat loodrecht op $l$ en snijdt $l$ , $m$ en $n$ in respectievelijk $A$ , $B$ en $C$ . $| A B | : | B C | = 1 : 3$ . Je gaat bewijzen dat van elke lijn die de drie lijnen snijdt het stuk tussen $l$ en $n$ door $m$ verdeeld wordt in stukken die zich verhouden als $1 : 3$ .

a

Bewijs eerst dat $s$ ook $m$ en $n$ loodrecht snijdt.

b

Bekijk een lijn $t$ die ook loodrecht op $l$ staat. Geef voor dat geval een bewijs. Gebruik rechthoeken, hulplijnen, congruentie en gelijkvormigheid.

c

Neem nu een lijn die niet loodrecht op $l$ staat. Geef voor dat geval een bewijs, gebruik hulplijnen.

Opgave 4

In $Δ A B C$ zijn $A D$ , $B E$ en $C F$ de hoogtelijnen.

Bewijs dat deze hoogtelijnen bissectrices zijn in $Δ D E F$ .

Opgave 5

Gegeven is een gelijkbenige driehoek $A B C$ met $| A B | = | A C | = 8$ en $| B C | = 4$ .

Bereken de straal van de ingeschreven cirkel (dat is de cirkel die alle zijden van de driehoek raakt).

Opgave 6De stelling van Menelaos

De stelling van Menelaos

De drie (verlengde) zijden van een driehoek $A B C$ worden gesneden door een lijn $m$ . Het snijpunt van (het verlengde) van $A B$ met $m$ is punt $D$ , het snijpunt van (het verlengde) van $B C$ met $m$ is punt $E$ en het snijpunt van (het verlengde) van $A C$ met $m$ is punt $F$ . Bewijs dat nu geldt: $\frac{| A D |}{| B D |} \cdot \frac{| B E |}{| C E |} \cdot \frac{| C F |}{| A F |} = 1$ . Dit is een variant van een uitgebreidere stelling die wordt toegeschreven aan Menelaos van Alexandrië (70 - 140 na Chr.).

a

In de getekende situatie ligt alleen $D$ op het verlengde van $A B$ . Lever eerst voor deze situatie het bewijs. (Aanwijzing: trek een lijn door hoekpunt $C$ en evenwijdig met $A B$ , deze lijn snijdt $m$ in punt $G$ .)

b

Teken nu een situatie waarin niet alleen $D$ op het verlengde van $A B$ , maar ook $E$ op het verlengde van $B C$ en $F$ op het verlengde van $A C$ ligt. Lever ook voor die situatie een bewijs.

Testen