Een definitie is alleen een afspraak, bijvoorbeeld wat een rechthoek is, of een driehoek, etc. Een stelling is een bewering waarvan je hebt aangetoond dat hij volgt uit de aannames, de axioma's en de definities.

De congruentie volgt uit $\angle ABD=\angle CDB$ (Z-hoeken), $\angle ABD=\angle DBC$ (Z-hoeken) en $\left|BD\right|=\left|DB\right|$. (HZH)

Uit de congruentie van $\text{∆}ABD$ en $\text{∆}CDB$ volgt dat $\left|AB\right|=\left|CD\right|$ en $\left|AD\right|=\left|BC\right|$.

Gegeven:
vierhoek $ABCD$ met $\left|AB\right|=\left|CD\right|$ en $\left|AD\right|=\left|BC\right|$.

Te bewijzen:
$ABCD$ is een parallellogram.

Bewijs:$\left|AB\right|=\left|CD\right|$Omdat $\left|AB\right|=\left|CD\right|$ en $\left|AD\right|=\left|BC\right|$ en $\left|BD\right|=\left|DB\right|$ zijn $\text{∆}ABD$ en $\text{∆}CDB$ congruent. (ZZZ) Daarom is $\angle ABD=\angle CDB$ en dus $AB//CD$. (Z-hoeken) Daarom is $\angle ABD=\angle BBC$ en dus $AD//BC$. (Z-hoeken) En dus is vierhoek $ABCD$ een parallellogram. (Definitie parallellogram) Q.e.d.

Zie Voorbeeld 3.

Gegeven:
vierhoek $ABCD$ waarin de diagonalen $AC$ en $BD$ elkaar middendoor delen, het snijpunt is $S$.

Te bewijzen:
$ABCD$ is een parallellogram.

Bewijs:
Omdat $\left|AS\right|=\left|SC\right|$ en $\left|BS\right|=\left|SD\right|$ en $\angle ASB=\angle DSC$ (overstaande hoeken) zijn $\text{∆}ABS$ en $\text{∆}CSD$ congruent. (ZHZ) Daarom is $\angle ABD=\angle CDB$ en dus $AB//CD$. (Z-hoeken) Daarom is $\angle ABD=\angle DBC$ en dus $AD//BC$. (Z-hoeken) En dus is vierhoek $ABCD$ een parallellogram. (Definitie parallellogram) Q.e.d.

Omdat $BD$ nu buiten de vierhoek ligt.

Bewijs:
Trek diagonaal $AC$. Van elk van de driehoeken $ABC$ en $ACD$ is de som van de hoeken $180°$. (hoekensom driehoek)
Dus: $\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°$ en $\angle ADC+\angle ACD+\angle DAC=180°$.
Deze zes hoeken samen zijn daarom $360°$.

Doen.

Gegeven:
ruit $ABCD$.

Te bewijzen:
in $ABCD$ delen de diagonalen de hoeken middendoor.

Bewijs:
Alle zijden van $ABCD$ zijn even lang (Definitie ruit). Bekijk diagonaal $BD$. Omdat alle zijden van de ruit gelijk zijn en $\left|BD\right|=\left|DB\right|$ zijn $\text{∆}ABD$ en $\text{∆}CDB$ congruent. (ZZZ) Daarom is $\angle ABD=\angle CDB$ en $\angle ABD=\angle ADC$ en dus deelt $BD$ de hoeken middendoor. Op dezelfde manier toon je dit voor $AC$ aan. Q.e.d.

Gegeven:
vlieger $ABCD$ waarin diagonaal $AC$ diagonaal $BD$ loodrecht middendoor deelt in punt $S$.

Te bewijzen:
$\angle BAS=\angle DAS$ en $\angle BCS=\angle DCS$.

Bewijs:
Omdat diagonaal $AC$ diagonaal $BD$ loodrecht middendoor deelt in punt $S$ is $\left|BS\right|=\left|DS\right|$ en zijn de vierhoeken met hoekpunt $S$ allemaal $90°$. Omdat $\left|DS\right|=\left|BS\right|$, $\left|AS\right|=\left|AS\right|$ en $\angle ASB=\angle ASD=90°$ zijn $\text{∆}ABS$ en $\text{∆}ADS$ congruent. (ZHZ) En daarom is $\angle BAS=\angle DAS$. Op dezelfde manier toon je aan dat $\text{∆}CBS$ en $\text{∆}CDS$ congruent zijn en dus $\angle BCS=\angle DCS$. Q.e.d.

In een ruit delen de diagonalen de hoeken middendoor. (Stelling ruit)

Nee, teken een tegenvoorbeeld.

Als ze even grote zijden hebben. Alle vierkanten hebben dezelfde vorm en zijn dus gelijkvormig. Als ook nog de zijden even lang zijn, zijn ze automatisch congruent.

Ja, het bewijs gaat zo:

Gegeven:
Rechthoek $ABCD$ met diagonaal $AC$.

Te bewijzen:
$\text{∆}ABC$ en $\text{∆}CD\mathrm{AS}$ zijn congruent.

Bewijs:
Omdat de rechthoek een parallellogram is (Stelling rechthoek) is $\left|AB\right|=\left|CD\right|$ en $\left|BC\right|=\left|DA\right|$ (Stelling parallellogram). Verder is $\left|AC\right|=\left|CA\right|$. Dus zijn $\text{∆}ABC$ en $\text{∆}CD\mathrm{AS}$ congruent. (ZZZ) Q.e.d.

Ja, ze zijn gelijkbenig en twee aan twee congruent.

Gegeven:
$ABCD$ is een rechthoek.

Te bewijzen:
De driehoeken $ABS$, $BCS$, $CDS$ en $DAS$ zijn gelijkbenig. $\text{∆}ABS$ en $\text{∆}CDS$ zijn congruent en $\text{∆}BCS$ en $\text{∆}DAS$ zijn congruent.

Bewijs:
Diagonalen in een rechthoek zijn gelijk en delen elkaar middendoor, dus de driehoeken $ABS$, $BCS$, $CDS$ en $DAS$ zijn gelijkbenig. (Stelling rechthoek) $\left|AS\right|=\left|CS\right|$, $\left|BS\right|=\left|DS\right|$ en $\left|AB\right|=\left|CD\right|$ dus $\text{∆}ABS$ en $\text{∆}CDS$ zijn congruent. (ZZZ) Zo ook geldt: $\text{∆}BCS$ en $\text{∆}DAS$ zijn congruent. (ZZZ) Q.e.d.

Gegeven:
Trapezium $ABCD$ met $AB//CD$ en $BC//AD$. $S$ ligt op $AD$ zo, dat $\left|AS\right|=\left|SD\right|$ en $R$ ligt op $BC$ zo, dat $\left|BR\right|=\left|RC\right|$.

Te bewijzen:
$SR$ is evenwijdig met $AB$ en $CD$.

Bewijs:
Teken een lijn $PQ$ door $R$ en evenwijdig aan $AD$. Dan is $APQD$ een paralelllogram en dus $\left|AD\right|=\left|PQ\right|$ (stelling parallellogram).
$S$ is het midden van $AD$. Omdat $AD$ (gegeven), $\angle PRB=\angle QRC$ (overstaande hoeken) en $\angle PBR=\angle QCR$ (Z-hoeken) is $\text{∆}PBR\cong \text{∆}QCR$ en dus is $\left|PR\right|=\left|RQ\right|=\frac{1}{2}\left|PQ\right|=\frac{1}{2}\left|AD\right|$. Hieruit volgt $\left|PR\right|=\left|AS\right|$. Verder is $AS//PR$ en dus is $APRS$ een parallellogram (stelling parallellogram). Dus is $SR$ is evenwijdig met $AB$ en daarom ook met $CD$. Q.e.d.

Als $ABCD$ een trapezium is met $AB$ evenwijdig met $CD$ en $P$ en $Q$ verdelen de overstaande ribben in de verhouding $1:a$, dan is $PQ$ evenwijdig met $AB$ en $DC$. Het bewijs is vergelijkbaar met dat bij a.

Gegeven:
$ABCD$ is een trapezium met $AB//CD$ en $\left|AD\right|=\left|BC\right|$.

Te bewijzen:
$\angle A=\angle B$ en $\angle C=\angle D$.

Bewijs:
Trek de loodlijnen $DP$ en $CQ$ op $AB$. $PQCD$ is een rechthoek. (Defintie parallellogram en stelling rechthoek) Omdat $\left|DP\right|=\left|CQ\right|$ (Stelling rechthoek en stelling parallellogram), $\left|AD\right|=\left|BC\right|$ en $\angle P=\angle Q=90°$ zijn $\text{∆}APD$ en $\text{∆}BQC$ congruent. (ZZR) Dus $\angle A=\angle B$. Verder is $\angle PDA=\angle QCB$ en $\angle PDC=\angle QCD=90°$ en dus $\angle C=\angle D$. Q.e.d.

Gegeven:
$ABCD$ is een trapezium met $AB//CD$ en $\angle A=\angle B$.

Te bewijzen:
$\left|AD\right|=\left|BC\right|$.

Bewijs:
Trek de loodlijnen $DP$ en $CQ$ op $AB$. $PQCD$ is een rechthoek. (Defintie parallellogram en stelling rechthoek) Omdat $\left|DP\right|=\left|CQ\right|$ (Stelling rechthoek en stalling parallellogram), $\angle A=\angle B$ en $\angle P=\angle Q=90°$ zijn $\text{∆}APD$ en $\text{∆}BQC$ congruent. (ZHH) Dus $\left|AD\right|=\left|BC\right|$. Q.e.d.

Teken de figuur.

Gegeven:
$ABCD$ is een parm met $\left|AE\right|=\left|ED\right|$ en $\left|BF\right|=\left|FC\right|$.

Te bewijzen:
$\text{∆}ASE$ en $\text{∆}CSF$ zijn congruent.

Bewijs:
$BC//AD$ (Definitie parallellogram) en $\left|AD\right|=\left|BC\right|$ (Stelling parallellogram). Omdat $\angle SAE=\angle FCS$ (Z-hoeken), $\angle ASE=\angle FSC$ (Overstaande hoeken) en $\left|AE\right|=\left|CF\right|=\frac{1}{2}\left|BC\right|$ zijn $\text{∆}ASE$ en $\text{∆}CSF$ congruent. Q.e.d.

Bewijs:
Ga verder met het voorgaande bewijs bij a. Uit de congruentie van $\text{∆}ASE$ en $\text{∆}CSF$ volgt $\left|ES\right|=\left|SF\right|$ en $\left|CS\right|=\left|AS\right|$. Dus $\left|AC\right|=2\left|AS\right|$. Omdat ook $\left|CF\right|=2\left|CD\right|$ en $\angle SCF=\angle ACB$ zijn $\text{∆}SCF$ en $\text{∆}ACB$ gelijkvormig. (zhz) De vergrotingsfactor is $2$, dus $\left|AB\right|=2\left|SE\right|=\left|SE\right|+\left|SF\right|=\left|EF\right|$. Q.e.d.

Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken $\text{∆}SCF$ en $\text{∆}ACB$ volgt dat $SF//AB$, dus $ABFS$ is een trapezium. Je kunt net zo'n soort redenering als bij b houden voor de gelijkvormigheid van $\text{∆}ASE$ en $\text{∆}ACD$. Hieruit volgt dat $ES//CD$, dus $ESCD$ is een trapezium.

De structuur van het bewijs is:
Een ruit bestaat uit vier congruente rechthoekige driehoeken. De hoogtelijn uit de rechte tophoek op de schuine zijde zijn even lang. De ingeschreven cirkel heeft een straal die gelijk is aan de lengte van de hoogtelijnen.

De structuur van het bewijs is:
Een parallellogram bestaat uit twee paar congruente driehoeken. Voor een ingeschreven cirkel moeten de hoogtelijnen op de zijden gelijk zijn. De rechthoekige driehoeken met die hoogtelijnen als zijden en één hoekpunt van het paralelllogram als hoekpunt zijn dan congruent. En dus deelt een diagonaal de hoek bij dit hoekpunt doormidden. En dan is het parallellogram een ruit.