Dan blijft die hoek hetzelfde. Dat is de stelling van de constante hoek.
Je krijgt nu de stelling van de omtrekshoek.
Bekijk eerst wat de stelling van Thales is.
Je kunt hem bewijzen door in te zien dat als .
Omdat het wel moet gaan om een omtrekshoek en een middelpuntshoek die op dezelfde boog staan.
Doen.
Neem weer: , en en .
Dan is .
En verder is en . Hieruit volgt .
Je kunt er voor zorgen dat op komt te liggen.
Als binnen ligt, dan is . En als buiten ligt, dan is .
Een rechthoek bestaat uit twee rechthoekige driehoeken met een gezamenlijke hypothenusa. Voor elk van die rechthoekige driehoeken geldt de stelling van Thales.
Elke rechthoek bestaat uit twee rechthoekige driehoeken met een gezamenlijke hypothenusa. Voor elk van die rechthoekige driehoeken geldt de stelling van Thales met hetzelfde middelpunt en dezelfde straal (de helft van de hypothenusa).
Voor elk van die rechthoekige driehoeken geldt de stelling van Thales met hetzelfde middelpunt en dezelfde straal (de helft van de hypothenusa).
Bewijs:
Voor zowel als geldt de stelling van Thales. Dus zowel punt als punt ligt op de cirkel met middelpunt het midden van en straal .
Q.e.d.
Als koorde gelijk is aan koorde , dan is cirkelboog gelijk aan cirkelboog .
En...
Als cirkelboog gelijk is aan cirkelboog , dan is koorde gelijk aan koorde .
Dit volgt uit het feit dat elke omtrekshoek de helft is van de bijbehorende middelpuntshoek. (omtrekshoek)
, want . (Thales)
. (gelijke hoeken op gelijke koorde )
. ( is gelijkbenig)
. (in geldt de stelling van Thales)
. ( is gelijkbenig)
. (gelijke hoeken op gelijke koorde )
. (middelpuntshoek bij omtrekshoek )
Gegeven:
Cirkel met middelpunt en evenwijdige koorden en .
Te bewijzen:
De middelloodlijn van valt samen met de middelloodlijn van .
Bewijs:
De middelloodlijn van gaat door en staat loodrecht op . Omdat staat deze middelloodlijn ook loodrecht op . Omdat de middelloodlijn van ook door gaat en loodrecht op staat vallen beide lijnen samen.
Q.e.d.
Doen.
hh.
Maak zelf een figuur.
Bewijs:
Uit het gegeven volgt dat de bogen en gelijk zijn. (boog en koorde)
Dan is boog + boog = boog + boog .
Dus is boog = boog en dus is . Dit geeft . (boog en koorde)
Q.e.d.
Gegeven:
Zie opgave, maak een bijpassende figuur.
Te bewijzen:
en liggen aan dezelfde kant van .
Bewijs:
Trek middelijn door .
Dan is . (Thales)
Stel en liggen aan verschillende kanten van . Dan moet liggen tussen en op de cirkelomtrek. Maar dan is , want boog is meer dan . (omtrekshoek)
Dit levert een tegenspraak op.
Q.e.d.
snijdt de cirkel in punt . Dus . Trek ook de lijn door . Als in ligt dan moet op de kleine boog liggen en dan is .
Als niet in ligt, dan ligt op de kleine boog . Dus .
Als een koorde is in een cirkel met middelpunt en punt ligt op de cirkel, dan is als en aan dezelfde kant van liggen, als en aan dezelfde kant van liggen
en als op ligt. En ook het omgekeerde van deze stelling is waar.
Gegeven:
Een cirkel met middelpunt en twee koorden en waarbij geldt .
Te bewijzen:
.
Bewijs:
en en , dus . (ZHZ)
Q.e.d.
Gegeven:
Een cirkel met twee gelijke omtrekshoeken .
Te bewijzen:
.
Bewijs:
Omdat beide gegeven hoeken kleiner dan zijn, liggen en aan dezelfde kant van en en aan dezelfde kant van .
Omdat is boog even groot als boog . En dus is . (boog en koorde)
Q.e.d.
Bewijs:
Vierhoek is een vlieger, dus is . Verder is en , zodat .
Hieruit volgt . (boog en koorde)
Q.e.d.
Teken de figuur.
Bewijs:
Uit is gelijkbenig volgt en dus . (gelijkbenige driehoek)
Dan is boog = boog en dus is boog = boog .
Dus .
Hieruit volgt .
Dan is gelijkbenig.
Het omgekeerde kun je ook zo bewijzen.
Q.e.d.
Bewijs:
en snijden elkaar in . Dan is . Verder is (boog en koorde) en . Dus is . (ZHH)
Dus en , dus .
Het omgekeerde kun je ook zo bewijzen.
Q.e.d.
Bewijs:
Uit is gelijkbenig volgt is gelijkbenig. En daaruit volgt .
Nu het omgekeerde nog:
Uit volgt . (boog en koorde)
Verder is . (constante hoek)
Hieruit volgt en dus is gelijkbenig.
Q.e.d.
Bewijs:
Uit het gegeven volgt: boog = boog . (boog en koorde)
Dan is boog + boog = boog + boog .
Dus boog = boog , dus . (boog en koorde)
Q.e.d.
Bewijs:
. (constante hoek, ze staan op dezelfde boog)
. (overstaande hoeken)
, dus is gelijkbenig en daarom is . En dus is en daarom is gelijkbenig en is .
Gegeven:
is rechthoekig in en is rechthoekig in . (Maak beide driehoeken verschillend!)
Te bewijzen:
De vier punten , , en liggen op één cirkel.
Bewijs:
Volgens de omgekeerde stelling van Thales liggen de hoekpunten van op een cirkel met middellijn . Ditzelfde geldt voor . Dus liggen de vier punten , , en liggen op deze cirkel.
Q.e.d.