Maak een tekening zoals bij de vorige opgave. Teken alleen diagonaal $DC$. Teken nu ook de bijbehorende middelpuntshoeken en omtrekshoeken en redeneer op dezelfde manier als in de Uitleg .

Gegeven:
Vierhoek $ABCD$ is een parallellogram en een koordenvierhoek.

Te bewijzen:
$ABCD$ is een rechthoek.

Bewijs:
Omdat $ABCD$ een parallellogram is geldt: $\angle A+\angle B=\angle B+\angle C=\angle C+\angle D=\angle A+\angle B=180°$. (Volgt uit F-hoeken.)
Omdat $ABCD$ een koordenvierhoek is geldt: $\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180°$. (koordenvierhoekstelling)
Uit $\angle B+\angle C=180°$ volgt $\angle C=180°-\angle B$. Invullen in $\angle A+\angle C=180°$ geeft $\angle A=\angle B$. En $\angle A+\angle B=180°$. Dus is $\angle A=\angle B=90°$.
Op dezelfde manier vind je $\angle C=\angle D=90°$. Dus vierhoek $ABCD$ is een rechthoek.
Q.e.d.

Bewijs:
$\angle ADC+\angle ABC=180°$. (koordenvierhoek) Dan is $\angle QBC=\angle ADC$.
$\angle DAB+\angle BCD=180°$. (koordenvierhoek) Dan is $\angle BCQ=\angle BAD$.
Dan geldt in $\text{∆}BQC$: $\angle Q=180°-\angle A-\angle D$. (hoekensom driehoek)
In $\text{∆}PBS$ geldt op dezelfde manier: $\angle P=180°-\angle C-\angle D$. En $\angle C=180°-\angle A$. (koordenvierhoek) Dan is $\angle P+\angle Q=180°-2\cdot \angle D$.
Q.e.d.

Bewijs:
Bekijk de driehoeken $AMP$ en $BMP$. Daarin is $MA=MB$, $PA=PB$ en $MP=MP$, dus ze zijn congruent. (ZZZ)
Daarom is $\angle MPA=\angle MPB$. Omdat deze hoeken samen $180°$ zijn, zijn ze elk $90°$.
Q.e.d.

Gegeven:
Zie opgave, maak een bijpassende figuur, zorg er voor dat $AS$ en $BS$ aan weerskanten van $M$ liggen. $P$ is het midden van $AS$ en $Q$ dan van $BS$.

Te bewijzen:
$MPSQ$ is een koordenvierhoek.

Bewijs:
Omdat $MP\perp AS$ is $\angle MPS=90°$. (loodlijn op koorde)
Omdat $MQ\perp BS$ is $\angle MQS=90°$. (loodlijn op koorde)
Dus is $\angle MPS+\angle MQS=180°$ en is $MPSQ$ een koordenvierhoek. (koordenvierhoekstelling)
Q.e.d.

Zie figuur.

Bewijs:
Zie figuur.
De vierhoeken $ABDC$ en $ABFE$ zijn koordenvierhoeken. Dus: $\angle D+\angle CAB=180°$ (koordenvierhoek) zodat $\angle BAE=\angle D$ (gestrekte hoek).
Ook is $\angle BAE+\angle F=180°$ (koordenvierhoek) en dus $\angle F=180°-\angle D$. Als je nu $EF$ aan de kant van $F$ verlengt, dan is de nevenhoek van $\angle F$ dus gelijk aan $\angle D$.
Deze hoeken vormen daarom een paar Z-hoeken. Dus zijn $CD$ en $EF$ evenwijdig.
Q.e.d.

Bewijs:
Neem aan dat $P$ het voetpunt van de loodlijn op $AB$ is.
Bekijk de driehoeken $AMP$ en $BMP$. Daarin is $MA=MB$, $\angle MPA=\angle MPB=90°$ en $MP=MP$, dus ze zijn congruent. (ZZR)
Daarom is $AP=BP$.
Q.e.d.

Gegeven:
Vierhoek $ABCD$ met alle hoekpunten op één cirkel.

Te bewijzen:
De middelloodlijnen van alle zijden gaan door hetzelfde punt.

Bewijs:
De middelloodlijn van een koorde gaat door het middelpunt van de cirkel. (loodlijn op koorde) De zijden $AB$, $BC$, $CD$ en $DA$ zijn koorden in dezelfde cirkel. De middelloodlijnen van deze koorden gaan door het middelpunt van de cirkel.
Q.e.d.

Zie figuur.

Gegeven:
Vlieger $ABCD$ met symmetrieas $BD$.

Te bewijzen:
$ABCD$ is een koordenvierhoek.

Bewijs:
Er zijn twee verschillende situaties:
Situatie I: Twee overstaande hoeken zijn recht, dus $\angle A=\angle C=90°$. Dan is $\angle A+\angle C=180°$ en is $ABCD$ een koordenvierhoek. (koordenvierhoek)
Situatie II: Twee aanliggende hoeken zijn recht, bijvoorbeeld $\angle A=\angle C=90°$. Maar vanwege de symmetrieas is ook $\angle A=\angle C=90°$. (Dit kun je nader bewijzen met behulp van congruentie.) En dus is ook nu $\angle A+\angle C=180°$ en is $ABCD$ een koordenvierhoek. (koordenvierhoek)
Q.e.d.

$\angle ASD=100°$ en $\angle ASB=\angle DSC=80°$.
$\angle BAS=180°-80°-30°=70°$ dus ook $\angle BDC=70°$. (staan op dezelfde boog)
$\angle ADB=40°$ en dus $\angle ACB=40°$. (staan op dezelfde boog)
$\angle ABD=\angle ACD=30°$ en $\angle DAC=\angle BDC$. (staan op dezelfde boog)
De hoekensom van een vierhoek is $360°$, dus $\angle DAC+70°+30°+\angle BDC+40°+30°+70°+40°=360°$. Dit betekent $2\cdot \angle DAC=360°-280°=80°$. Dus $\angle DAC=40°=\angle DBC$.