Vierhoeken en cirkels

Vierhoeken en cirkels > Koordenvierhoeken

12345Koordenvierhoeken

Voorbeeld 2

Bekijk de applet.

In een scherphoekige driehoek $A B C$ is $F$ het voetpunt van de hoogtelijn uit $C$ . Uit $F$ zijn loodlijnen neergelaten op $A C$ en $B C$ . Hun voetpunten zijn $P$ respectievelijk $Q$ . Bewijs dat de punten $A$ , $B$ , $P$ en $Q$ op een cirkel liggen.

> antwoord

Gegeven:
Zie figuur, $∆ A B C$ is scherphoekig.

Te bewijzen:
Vierhoek $A B P Q$ is een koordenvierhoek.

Bewijs:
Neem $∠ C A B = α$ en $∠ C B A = β$ .
$∆ A C F$ en $∆ F P C$ zijn gelijkvormig (hh).
Je ziet dat $∠ C F P = α$ en $∠ P F A = ∠ F C A = 90 ° - α$ . Noem die hoek $γ$ .
Net zo is $∠ C F Q = β$ en $∠ Q F B = ∠ F C B = 90 ° - β$ . Noem die hoek $δ$ .
De twee rechte hoeken bij $P$ en $Q$ vertellen je dat $C P F Q$ een koordenvierhoek is, dus er gaat een cirkel door $C$ , $P$ , $F$ en $Q$ en je kunt iets met omtrekshoeken proberen. $∠ P Q F$ is een omtrekshoek bij de koorde $P F$ . $∠ P C F$ is een omtrekshoek bij dezelfde koorde, en aan dezelfde kant. Dus $∠ P Q F = γ$ .
Nu ben je er: $∠ P Q B = 90 ° + γ$ dus $∠ P Q B + ∠ P A B = 90 ° + γ + α = 90 ° + 90 ° = 180 °$ , dus $A B P Q$ is een koordenvierhoek. Q.e.d.

Opgave 7

Bekijk de stelling in Voorbeeld 2 zonder naar het bewijs te kijken.

Probeer eerst zelf een bewijs voor de stelling te vinden.

Teken nu zelf de figuur (als je dat nog niet hebt gedaan) en loop het bewijs in het voorbeeld na.

Opgave 8

In de scherphoekige $∆ A B C$ is $P$ het voetpunt van de hoogtelijn uit $A$ en $Q$ het voetpunt van de hoogtelijn uit $B$ . $H$ is het snijpunt van de hoogtelijnen.

Bewijs dat $A B P Q$ een koordenvierhoek is.

Bewijs dat $H P C Q$ een koordenvierhoek is.

verder | terug