Vierhoeken en cirkels

Vierhoeken en cirkels > Koordenvierhoeken

12345Koordenvierhoeken

Voorbeeld 3

Bekijk de applet.

Twee cirkels met gelijke straal snijden elkaar in de punten $A$ en $B$ . Een lijn door $B$ snijdt de éne cirkel in $P$ en de andere cirkel in $Q$ .
Bewijs dat de lijnstukken $A P$ en $A Q$ even lang zijn.

> antwoord

Bewijs:
Neem $∠ P Q A = α$ . Als je kunt aantonen dat $∠ Q P A = α$ dan is $∆ Q P A$ gelijkbenig en is $| A P | = | A Q |$ .
Nu is $∠ A M_{1} B = 2 α$ (stelling van de omtrekshoek). Vierhoek $A M_{1} B M_{2}$ heeft vier even lange zijden heeft is dus een ruit (definitie $ruit$ ), zodat ook $∠ AM$ ₁ $B$ = 2 $α$ (stelling ruit).
Er is dus een omtrekshoek $∠ B R A$ met $R$ op de cirkel met middelpunt $M_{2}$ en aan de andere kant van $A B$ dan $P$ , die de helft is van $∠ A M_{1} B = 2 α$ en dus gelijk is aan $α$ . Omdat $P B R A$ een koordenvierhoek is, is $∠ A P B = 180 ° - α$ (stelling koordenvierhoek). En dus is $∠ Q P A = 180 ° - ∠ A P B = α$ .
Q.e.d.

Opgave 9

Bekijk Voorbeeld 3.

Teken zelf de figuur, of (nog mooier) maak hem in GeoGebra.

Loop het bewijs na, teken de bijbehorende hulplijnen.

Opgave 10

In deze figuur is $A B C D$ is een koordenvierhoek. Punt $P$ is het snijpunt van de lijnen $A D$ en $B C$ en $Q$ is het snijpunt van de lijnen $A B$ en $D C$ .

Bewijs dat $∠ P + ∠ Q = 180 ° - 2 \cdot ∠ D$ .

Opgave 11

In een cirkel is $A B$ een koorde die niet door het middelpunt $M$ van die cirkel gaat.

Bewijs met behulp van congruentie dat de lijn door $M$ en het midden $P$ van die koorde loodrecht op die koorde staat. (Dit is de helft van de stelling loodlijn op koorde.)

verder | terug