Vierhoeken en cirkels

Vierhoeken en cirkels > Koordenvierhoeken

Overzicht

12345Koordenvierhoeken

Uitleg

Bekijk de applet.

Stelling:

Twee omtrekshoeken bij een koorde en aan verschillende kanten van die koorde zijn samen $180 °$ .

Gegeven:
De omtrekshoeken

∠ A C B = α

∠ A D B = β

op koorde

A B

waarbij

C

D

aan verschillende kanten van die koorde liggen.

Te bewijzen:
$α + β = 180 °$ .

Bewijs:
Je zoekt een verband met de middelpuntshoek bij de koorde. Het middelpunt van de cirkel is $M$ . Teken de hulplijnen $M A$ , $M B$ en $M C$ en geef gelijke hoeken aan in de gelijkbenige driehoeken $M A C$ en $M B C$ . Laat $∠ M A C = γ$ , $∠ M B C = δ$ .
Dan is in vierhoek $M A C B$ : $∠ A M B + 2 γ + 2 δ = 360 °$ .
Nu is $γ + δ = α$ en $∠ A M B = 2 β$ (stelling van de omtrekshoek). Dus is $2 α + 2 β = 360 °$ en $α + β = 180 °$ . Q.e.d.

Je noemt vierhoek $A D B C$ een koordenvierhoek omdat alle zijden ervan koorden in deze cirkel zijn. Uit de bewezen stelling volgt meteen dat in elke koordenvierhoek de overstaande hoeken samen $180 °$ zijn.

Opgave 2

Bekijk de Uitleg .

Wat is een koordenvierhoek?

Teken een vierhoek die geen koordenvierhoek is.

Welke eigenschap is het kenmerk van een koordenvierhoek? Ga na, dat die voor de vierhoek die je bij b hebt getekend ook niet geldt.

Opgave 3

Bekijk het bewijs van de koordenvierhoekstelling.

Teken een koordenvierhoek $A D B C$ zoals in de figuur en zet koorde $A B$ er in. Teken ook de in het bewijs benodigde extra lijnstukken en geef de hoeken $α$ , $β$ , $γ$ en $δ$ in de figuur aan.

Loop nu het bewijs van de koordenvierhoekstelling nog eens na.

Opgave 4

Bekijk de figuur in de Uitleg . Bewijs de koordenvierhoekstelling ook voor de hoeken bij $A$ en $B$ .

verder | terug